1.4.2 Весовые функции (окна)

Для уменьшения растекания спектра при ДПФ применяются весовые функции (weighting functions), которые также называют окнами (windows). В этом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию w(k), которая должна спадать к краям сегмента. Формула прямого ДПФ при использова­нии весовых функций принимает следующий вид:

Роль весовой функции в этой формуле можно рассматривать с различных точек зрения. Сначала проанализируем ситуацию во временной области. Если мы ис­пользуем весовую функцию, которая имеет максимум в середине (при k = N/2) и плавно спадает к краям (k = 0 и k = N-1), то это приведет к ослаблению эффектов, связанных с возникновением скачков сигнала при периодическом повторе­нии анализируемой конечной последовательности, и, таким образом, к уменьше­нию растекания спектра.

Аналогичный вывод можно сделать, рассмотрев влияние весовой функции в час­тотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует свертке спектров сигнала и весовой функции. Это приводит к тому, что пики, содержащиеся в спектре сиг­нала, несколько расширяются. Однако при этом становится возможно умень­шить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью применения весовых функций.

Если трактовать ДПФ как фильтрацию, при использовании весовой функции w(k) получаются частотные характеристики фильтров следующего вида:

Выбирая весовую функцию w(k) определенным образом, можно уменьшить уро­вень боковых лепестков частотой характеристики фильтров, соответствующих отдельным каналам ДПФ. Естественно, платой за это является расширение цен­трального лепестка частотной характеристики.

Текст программы с комментариями:

disp('КУРСОВАЯ РАБОТА')

disp('по курсу: "Цифровая обработка сигналов и микропроцессоры".')

disp('-= Программа анализа параметров и характеристик реализации случайного процесса =-')

disp(' Разработал: ст. гр. 416')

disp('Стройнов Ю.С.')

disp(' ')

load EEG1.txt; %загрузка данных

a=input('Введите номер первого канала-');

x(:,1)=EEG1(:,a);

b=input('Введите номер второго канала-');

x(:,2)=EEG1(:,b);

c=input('Введите номер третьего канала-');

x(:,3)=EEG1(:,c);

disp(' ')

disp('-= Задание 1 =-')

disp('"Оценка статистических характеристик реализации случайного процесса."')

disp(' ')

m=mean(x);%оценка мат. ожиданиЯ

D=var(x);%оценка дисперсии

disp('Для первого канала:')

fprintf(1, 'Мат. ожидание m= %-15.3e \nДисперсия D= %-15.3e \n\n', m(1), D(1))%форматирование вывода данных

disp('Для второго канала:')

fprintf(1, 'Мат. ожидание m= %-15.3e \nДисперсия D= %-15.3e \n\n', m(2), D(2))

disp('Для третьего канала:')

fprintf(1, 'Мат. ожидание m= %-15.3e \nДисперсия D= %-15.3e \n\n', m(3), D(3))

disp('Оценка вариативности:')

%оценка вариативности и ее вывод длЯ каждого канала отдельно

for n=7:11

variat((n-6),:)=var(x(1:(2^n),:));

end

variat

disp(' ')

disp('-= Задание 2 =-')

disp('"Оценка плотности распределения реализации случайного процесса."')

disp(' ')

%построение гистограммы аспределениЯ длЯ заданных компонент реализации СП

e=input('Введите количество интервалов-'); %ввод количества интервалов длЯ обработки

subplot(3,1,1)

hist(x(1:e,1))

grid on

subplot(3,1,2)

hist(x(1:e,2))

grid on

subplot(3,1,3)

hist(x(1:e,3))

grid on

disp(' ')

disp('-= Задание 3 =-')

disp(' ')

disp('"Оценка корреляционных характеристик реализации случайного процесса."')

disp('Коэффициенты коррелЯции длЯ выбранных компонент СП:')

K1=cov(x(:,1));%корреляция

K2=cov(x(:,2));

K3=cov(x(:,3));

korrel=[K1,K2,K3];

fprintf(1, 'Kc1= %-15.3e \nKc2= %-15.3e \nKc3= %-15.3e \n', korrel(1), korrel(2), korrel(3)) %форматирование вывода данных

disp(' ')

disp('КоррелЯционные функции выбранных компонент СП приведены на графиках:')

[tmp,R1] = corrmtx(x(:,1), 20);

[tmp,R2] = corrmtx(x(:,2), 20);

[tmp,R3] = corrmtx(x(:,3), 20);

k = 1:21;

figure

subplot(3,1,1);

stem(k, R1(1,:));

title('-= Correlation function of process 1 =-');

grid on;

subplot(3,1,2);

stem(k, R2(1,:));

title('-= Correlation function of process 2 =-');

grid on;

subplot(3,1,3);

stem(k, R3(1,:));

title('-= Correlation function of process 3 =-');

grid on;

disp(' ')

disp('Коэффициенты взаимной коррелЯции для выбранных каналов:')

CCF1 = xcorr(x(:,1),x(:,2));

CCF2 = xcorr(x(:,1),x(:,3));

CCF3 = xcorr(x(:,2),x(:,3));

fprintf(1, 'Kcc1= %-15.3e \nKcc2= %-15.3e \nKcc3= %-15.3e \n', CCF1(2048), CCF2(2048), CCF3(2048))%форматирование вывода данных

disp(' ')

disp('ВКФ выбранных компонент СП приведены на графиках:')

R4 = xcorr(x(:,1),x(:,2));

R5 = xcorr(x(:,1),x(:,3));

R6 = xcorr(x(:,2),x(:,3));

figure

subplot(3,1,1);

stem(R4(2000:2100));

title('-= Cross-Correlation Function 1 and 2 chanels =-');

grid on;

subplot(3,1,2);

stem(R5(2000:2100));

title('-= Cross-Correlation Function 1 and 3 chanels =-');

grid on;

subplot(3,1,3);

stem(R6(2000:2100));

title('-= Cross-Correlation Function 2 and 3 chanels =-');

grid on;

disp(' ')

disp('-= Задание 4 =-')

disp('"Оценка спектральных характеристик реализации случайного процесса."')

disp(' ')

n = input('Введите длительность интервала (сегмента сигнала)-');

disp('На первом графике показано спектральное треугольное окно,')

disp('на следующих 3-х графиках показаны СПМ длЯ периодограммного метода с использованием спектрального треугольного окна ,')%тело программы 4-го задания

disp('на последних 3-х графиках показаны СПМ длЯ периодограммного метода без использованиЯ спектрального окна .')

w = triang(n);

%вид треугольного окна

figure

subplot(3,3,1)

plot(w)

title('-= triangle window =-')

grid on

%СПМ с использованием треугольного окна

subplot(3,3,2)

periodogram(x(1:n,1),w,[],100)

title('-= Periodogram method with triangle window, process 1 =-')

grid on

subplot(3,3,5)

periodogram(x(1:n,2),w,[],100)

title('-= Periodogram method with triangle window, process 2 =-')

grid on

subplot(3,3,8)

periodogram(x(1:n,3),w,[],100)

title('-= Periodogram method with triangle window, process 3 =-')

grid on

%СПМ без использования выделяющего окна

subplot(3,3,3)

periodogram(x(:,1),[],[],100)

title('-= Periodogram method without window, process 1 =-')

grid on

subplot(3,3,6)

periodogram(x(:,2),[],[],100)

title('-= Periodogram method without window, process 2 =-')

grid on

subplot(3,3,9)

periodogram(x(:,3),[],[],100)

title('-= Periodogram method without window, process 3 =-')

grid on

disp('end of programm')

Результаты выполнения программы:

1)Оценка статистических характеристик реализации случайного процесса.

Для первого канала:

Мат. ожидание m= 2.060e+001

Дисперсия D= 8.550e+003

Для второго канала:

Мат. ожидание m= 7.582e+000

Дисперсия D= 7.031e+003

Для третьего канала:

Мат. ожидание m= 1.656e+001

Дисперсия D= 1.116e+004

Оценка вариативности:

variat =

1.0e+004 *

0.7655 0.5596 0.8976

1.0654 0.7298 1.2242

1.1910 0.8782 1.5864

0.9323 0.7222 1.2655

0.8550 0.7031 1.1164

2) . Оценка плотности распределения реализации случайного процесса.

Количество интервалов-128.

Гистограмма для 1, 3, 5- го каналов соответственно:

3) Оценка корреляционных характеристик реализации случайного процесса.

Коэффициенты корреляции для выбранных компонент СП:

Kc1= 8.550e+003

Kc2= 7.031e+003

Kc3= 1.116e+004

Корреляционные функции выбранных компонент СП приведены на графиках:

Коэффициенты взаимной корреляции для выбранных каналов:

Kcc1= 8.369e+006

Kcc2= 1.559e+007

Kcc3= 9.354e+006

ВКФ выбранных компонент СП приведены на графиках:

4) Оценка спектральных характеристик реализации случайного процесса.

Длительность интервала (сегмента сигнала)-256

На первом графике показано спектральное треугольное окно,

На следующих 3-х графиках показаны СПМ для метода Уэлча с использованием спектрального треугольного окна .

На последних 3-х графиках показаны СПМ для метода Уэлча без использования спектрального окна .

28