15. Моделювання динаміки систем. Системи з локалізованими та розподіленими властивостями.
Уравнения переходных процессов
В математическом моделировании все системы делят на системы с сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрами. Поведение во времени систем первого вида описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (задача Коши). Поведение систем второго типа описывают дифференциальными уравнениями в частных производных.
Рассмотрим систему с сосредоточенными параметрами. Для описания динамики такой системы используется система дифференциальных уравнений, которая, в общем случае может быть представлена так:
К этим уравнениям необходимо добавить еще систему начальных условий.
Путем соответствующей замены переменных (и ценой увеличения числа уравнений) последнюю систему всегда можно преобразовать так, что она будет содержать производные только лишь первого порядка. С учетом начальных условий задача будет иметь следующий вид:
(1)
Решением задачи является набор функций x1(t), x2(t), … , xn(t) . Для численного решения такой задачи могут быть использованы т.н. неявные методы.
Довольно часто систему уравнений (1) удается разрешить относительно производных, тогда задача принимает следующий вид:
(2)
Такого рода дифференциальную задачу называют задачей Коши. Задачу Коши можно представить в векторной форме:
,
В дальнейшем значок вектора будем опускать. Будем иметь в виду, что если речь идет о системе уравнений, то x понимается как вектор искомых функций, а F(x,t) – как вектор правых частей системы уравнений. Таким образом, задачу Коши для системы уравнений, так же как и для одного уравнения, будем записывать следующим образом:
, (3)
Если задача решается численно, всегда задан некоторый конечный интервал интегрирования [0,T] . Для построения алгоритма используется дискретизация по t и конечные разности. Результат численного решения Задачи Коши имеет табличную форму представления искомых функций (что не мешает затем получать графики).
В математическом моделировании все системы делят на системы с сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрами. Поведение во времени систем первого вида описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (задача Коши). Поведение систем второго типа описывают дифференциальными уравнениями в частных производных.
Рассмотрим систему с сосредоточенными параметрами. Для описания динамики такой системы используется система дифференциальных уравнений, которая, в общем случае может быть представлена так:
,
где F - система функций,
x - вектор переменных состояния,
p(i) - вектор производных по t от x порядка i .
К этим уравнениям необходимо добавить еще систему начальных условий.
Путем соответствующей замены переменных (и ценой увеличения числа уравнений) последнюю систему всегда можно преобразовать так, что она будет содержать производные только лишь первого порядка. С учетом начальных условий задача будет иметь следующий вид:
F(t, x, p) = 0 (1)
x(0) = x(0) .
Здесь p - вектор первых производных:
p = x/t .
Решением задачи является набор функций x(t). Для численного решения задачи могут быть использованы т.н. неявные методы.
Довольно часто систему уравнений (1) удается разрешить относительно производных, тогда задача принимает следующий вид:
(2)
Если задача решается численно, всегда задан некоторый конечный интервал интегрирования [0,T] . Для построения алгоритма используется дискретизация по t и конечные разности. Результат численного решения Задачи Коши имеет табличную форму представления искомых функций (что не мешает затем получать графики).