Формулы для модели очередей с – c постоянным временем обслуживания, называемой также m/d/1

Пример 4

Компания, собирающая и перерабатывающая алюминиевые банки и стеклян­ные бутылки в Нью-Йорке, имеет грузовые автомобили, привозящие эти материа­лы для переработки, которые ожидают разгрузки в среднем по 15 минут. Затраты водителя и автомобиля в очереди составляют $ 60 / ч. Новый автоматический раз­грузчик может быть закуплен, чтобы процесс разгрузки выполнялся по правилу 12 автомобилей в час (т. е. 5 мин. на автомобиль). Грузовые автомобили появляются согласно распределению Пуассона со средней восемь автомобилей в час. Если использовать новый разгрузчик, его затраты на амортизацию составляют $ 3 на разгрузку. Фирма наняла на лето студента колледжа, который провел следующий анализ изменения затрат и выгод от покупки разгрузчика.

Существующие затраты ожидания на один рейс: (1/4 ч ожидания) ($ 60 / ч за­трат) = $ 15 / рейс.

Новая система: l = 8 грузовиков / ч поступающих, т = 12 грузовиков / ч обслуживаемых.

Затраты ожидания на один рейс с новым разгрузчиком: (1 / 12 ч очереди) ($ 60 / ч затрат) = $ 5 / рейс.

Экономия с новым оборудованием: $ 15 (существующая система) – $ 5 (новая система) = $ 10 / рейс.

Затраты на амортизацию нового оборудования = $ 3 / рейс.

Чистая экономия = $ 7 / рейс.

Модель D. Модель с ограниченным источником. Когда име­ется ограниченный источник потенциальных клиентов для центра обслуживания, нам необходима другая модель очередей. Эта мо­дель будет использована, если, например, нужно ремонтировать оборудование, имея только пять машин; если вы ответственны за обслуживание в полете 10 самолетов или если вы работаете в отделении госпиталя, рассчитанном на 20 коек. Модель с ограни­ченным источником имеет дело с некоторым числом объектов, требующих внимания.

Содержание этой модели отличается от трех ранее описанных моделей очередей тем, что теперь существует связь между длиной очереди и правилом появления заявки.

Проиллюстрируем экстремальную ситуацию, когда предпри­ятие имеет пять машин и все пять сломались и ожидают ремонта. В общем, чем длиннее очередь в модели ожидания с ограничен­ным источником, тем меньше прибытий клиентов или машин.

Заметим, что формулы для модели с ограниченным источни­ком используют другие переменные по сравнению с моделями А, В и С. Для простоты, чтобы можно было использовать калькуля­тор, определяются переменные D и F. Причем D представляет вероятность того, что машина, нуждающаяся в ремонте, будет ожидать в очереди; F означает коэффициент эффективности вре­мени ожидания. Заметим, что D и F необходимы для расчетов больше, чем другие конечные формулы модели.

Формулы и обозначения для модели очередей d – с ограниченным размером источника

D – вероятность того, что единица будет ожидать в очереди;

F – коэффициент эффективности;

Н – среднее число обслуженных единиц;

J – среднее число обрабатываемых единиц;

L – среднее число единиц, ожидающих обслуживания;

М – число каналов обслуживания;

N – число потенциальных клиентов;

Т – среднее время обслуживания;

U – среднее время между единицами, поступающими на обслуживание;

W – среднее время ожидания в очереди единицы;

X – сервисный показатель.

Для расчета мы выполняем четыре шага.

1. Рассчитываем Х (сервисный показатель, где ).

2. Находим X и соответствующее М (где М – число каналов обслуживания).

3. Устанавливаем соответственно D и F.

4. Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы системы обслуживания.

ПРИМЕР 5

Раисе определялось, что каждый из пяти лазерных компьютерных принтером в департаменте энергетики (DOE) требует ремонта после примерно 20 часов работы. Поломки определяю]с» распределением Пуассона. Один техник может отремонтировать принтер м среднем за два часа и соответствии с экспоненциаль­ным распределением. Поломка принтера обходится и $ 120 / 4, техникам платят $ 25 / 4. Должен ли департамент энергетики принять второго техника?

Предположим, второй техник может чинить принтер в среднем за два часа. Считаем, что ограниченный источник равен пяти принтерам, чтобы сравнить затраты одного или двух техников:

1

) отмечаем, что Т = 2 ч и U = 20 ч;

2) тогда = 2 / 22 = .091 (округляем до .090);

Этот анализ показал, что, имея только одного техника на дежурстве, мы получим малую экономию в размере нескольких долларов в час ($ 105.20 – 101.80 = $ 3.40).