Пример 3

Компания поставляет на рынок шприцы для безболезненных инъекций. Эта компания хотела бы снизить затраты на запасы, определив оптимальное количест­во шприцев, получаемых в заказе. Годовой спрос – 1000 единиц, затраты на переналадку или заказа – S10 на заказ, затраты хранения единицы в год – $0.50. Используя эти цифры, мы можем рассчитать оптимальное количество единиц в заказе.

1. Q* = sqr (2DS/H).

2. Q* = sqr (2(1000)(10)/0.50).

3. Q* = sqr (4000).

4. Q* = 200 единиц.

Мы можем также определить точно число заказов, размещае­мых в течение года (N) и точное время между заказами (Т) следующим образом:

(Точное число заказов) = N = (Спрос / Заказываемое количество) = D/Q*.	(9.2)
(Точное время между заказами) = Т = (Число рабочих дней в году / N).	(9.3)

ПРИМЕР 4

Используя информацию из примера 3, а также считая, что в году 250 рабочих дней, мы найдем число заказов (N) и точное время между заказами (Т):

N = (Спрос) / (3аказываемое количество) = 1000 / 200 = 5 заказов / год.

Т = (Число рабочих дней в году)/(Точное число заказов в году) =

= 250 рабочих дней /5 заказов = 50 дней между заказами.

Как было отмечено ранее в этом параграфе, суммарные затра­ты запаса есть сумма затрат переналадки и хранения:

(Общие годовые затраты) = (Затраты переналадки) + (Затраты хранения).

(9.4)

В обозначениях переменных модели мы можем выразить об­щие затраты ТС как:

ТС = DS/Q + QH/2.

(9.5)

ПРИМЕР 5

Снова воспользуемся данными примеров 3 и 4 и определим обшие затраты запасов:

ТС = DS/Q + QH/2 = 1000($10) / 200 + 200 (50.50) / 2 = (5)($10) + (100)($0.50) =

= $50 + 550 = 5100.

Часто в выражение для общих затрат запасов включают затра­ты на приобретение материалов. Если допустить, что цена шпри­цев известна (например, 1000 штук в год по Р = $10), то общие годовые затраты должны включать затраты покупки:

DP = (1000)($10) = $10000

Эти затраты на материалы не зависят от существующей поли­тики заказов, определяемой как оптимальная. Поэтому расчет Q* выполняется независимо от того, сколько стоят шприцы, заказы­ваемые каждый год.

Укажем на случай, для которого это будет не так, а именно, когда возможен дисконт от количества для покупателя, который заказывает много шприцев каждый раз.

EOQ – модель имеет еще одно отличие – она надежна. Под надежностью мы понимаем то, что она дает удовлетворительный результат даже при значительном изменении параметров. Как мы упоминали, установление точной цены заказа и затрат хранения запасов часто затруднительно. Следовательно, эта модель удобна. Общие затраты EOQ изменяются незначительно в окрестностях минимума. Кривизна очень незначительна. Это означает, что изменения затрат переналадки, затрат хранения спроса и даже EOQ относительно мало влияют на общие затраты.

ПРИМЕР 6

Для иллюстрации мы используем информацию примера 5. Если служба ме­неджмента недооценивает обший годовой спрос на 50 % (скажем, в действитель­ности он ближе к 1500 единицам, чем к 1000 единицам) и использует то же значение Q, то годовые затраты запасов увеличатся только на $25.0 ($100 в сравнении со $125), или на 25 %, как это показано далее. Аналогично, если служба менеджмента уменьшит размер заказа на 50% от 200 до 100, затраты увеличатся на $25 ($100 в сравнении со $125), или на 25 %.

1. Если спрос в примере 5 в действительности 1500, а не 1000, а служба менеджмента использует EOQ как Q = 200 (в то время, как должно быть Q = 244.9, исходя из базы спроса D = 1500), общие затраты возрастут на 25 %:

Годовые затраты = DS/Q + QH/2 = 1500 ($10) / 200 + 200 ($.50) / 2 = $ 75.0 + $ 50.0 = $125.0

2. Если размер заказа понизить с 200 до 100 единиц, а остальные параметры оставить прежними, затраты также увеличатся на 25 %:

Годовые затраты = 1000 ($10) / 100 + 100 ($.50) / 2 = $ 100.0 + $25.0 = $125.0.

Точка перезаказа. После того как мы определили, сколько заказывать, мы должны дать ответ на следующий вопрос управле­ния запасами: когда заказывать? Простые модели управления запасами исходят из того, что получение заказа должно быть немедленным. Другими словами, они предполагают, что фирма будет ждать, пока уровень ее запасов любого наименования до­стигнет нуля, прежде чем будет сделан заказ, и что она получит заказываемое количество немедленно. Однако время между раз­мещением и получением заказа, называемое временем выполне­ния заказа, или временем доставки, может составлять как не­сколько часов, так и несколько месяцев. Таким образом, решение о том, когда заказывать, обычно выражаемое термином точка перезаказа, определяется уровнем запаса, по достижении которого должен быть размещен заказ (см. рис. 9.9).

Точка перезаказа (ROP) может быть представлена равенством:

ROP = (Дневная потребность) х (Время выполнения нового заказа в днях) = dL.

Уравнение для ROP предполагает, что спрос однороден и постоянен. Когда это не так, должен быть добавлен лишний запас, называемый запасом безопасности.

Ежедневный спрос на день d определяется делением годового спроса D на число рабочих дней в году:

d = D / Число рабочих дней в году.

Р

асчет точки перезаказа иллюстрируется примером 7.

ПРИМЕР 7

Электронная компания определила спрос на ТХ512 полупроводники в объеме 8000 в год. Фирма в течение года работает 200 рабочих дней. В среднем доставка занимает три рабочих дня. Рассчитываем точку перезаказа:

d = (Дневной спрос) = (D / Число рабочих дней) = (8000 / 200) = 40,

ROP = (Точка перезаказа) = dL = (40 ед. / день) 3 дня = 120 ед.

Отсюда, когда хранящийся запас упадет до 120 единиц, должен быть размещен заказ. Заказ прибудет три дня спустя, как раз когда запас истощится.

Модель производственного (по количеству) заказа. В пре­дыдущей модели управления запасом мы предполагали, что все количество единиц заказа поступало одновременно. Однако встречаются случаи, когда фирма может пополнять ее запасы в течение определенного периода времени. Такие случаи требуют использования иной модели, которая исключает предположение об одновременности получения заказа. Эта модель используется, когда запасы непрерывно поступают и восстанавливаются через определенное время, т. е. когда изделия производятся и продаются одновременно. В таких условиях мы должны принять во внима­ние дневную производительность (или скорость притока запаса) и скорость дневного расхода запаса. Рис. 9.10 показывает уровень запасов как функцию времени.

Поскольку эта модель, главным образом, подходит для исполь­зования в производственной ситуации, она часто называется мо­делью производственного заказа. Она хорошо себя проявляет, когда запасы наращиваются в течение времени, и традиционный пока­затель экономичного уровня заказа уже предположительно уста­новлен. Мы получим эту модель, полагая затраты на заказ или переналадку, равными затратам на хранение, рассчитанным для Q*. Используя следующие обозначения, мы можем определить выражения для годовых затрат хранения запасов в модели дейст­вующего производства:

Q – количество единиц на заказ;

Н – затраты хранения единицы в год;

р – дневная производительность (скорость производства);

d – ежедневный спрос (скорость потребления);

t – продолжительность производственного процесса в днях.

1. (Годовые затраты хранения запаса) =

= (Средний уровень запаса) (Затраты хранения единицы в год) =

= (Средний уровень запаса) Н.

2. (Средний уровень запаса) =

= (Максимальный уровень запаса) / 2.

3. (Максимальный уровень запаса) =

= (Общий результат производства за период производства) –

– (Общий результат потребления за период производства) = pt – dt.

Но Q – общий результат производства = pt и t = Q/p. Поэтому максимальный уровень запаса = р (Q / p) – d (Q / p) = Q – (d / p) Q = Q(1 – d / p).

4. (Годовые затраты хранения запаса или просто затраты хране­ния) =

= (Максимальный уровень запаса) (Н) / 2 = QH (1 – d / p) / 2.

Используя выражение для затрат хранения и выражения для затрат переналадки, полученные на основе EOQ – модели, мы по­лучим систему уравнений для определения оптимального числа единиц на заказ:

(Затраты переналадки) = (D/Q)S;

(Затраты хранения) = HQ (1 – d/p)/2.

Чтобы определить Q*, необходимо приравнять затраты заказа к затратам хранения по определению, данному выше.

DS/Q = HQ (1 – d/p)/2, Q^2 = 2DS/(H (1 – d/p)), Q* = sqr (2DS/(H(1 – d/p))).

(9.7)

Мы можем использовать полученное выражение, чтобы опре­делить оптимальный заказ или производственный задел, кото­рый расходуется одновременно в процессе производства и потреб­ления.

ПРИМЕР 8

Используя имеющуюся информацию, определим оптимальное количество единиц на заказ.

Годовой спрос = D = 1000 ед.

Затраты переналадки = S = $10.

Затраты хранения = Н = $0.50 за ед. в год.

Производительность = р = 8 ед. ежедневно.

Скорость потребления = d = 6 ед. ежедневно.

1. Q* = sqr (2DS/(H(l – d//>))).

2. Q* = sqr (2(1000)(10)/((.50)(1 – 6/8))) = sqr (20000/((.50)(l/4))) = sqr (160000) = 400 ед.

Можно сравнить полученное решение с результатом приме­ра 3. Пренебрежение допущением одномоментного получения за­каза реализовано посредством учета р=8 и d=6 в последнем выражении, что определило увеличение Q*, равное 200, в примере 3, до 400 в примере 8. Заметим также, что:

d = D/Количество рабочих дней работы завода в плановом отрезке.

Отсюда мы можем при расчете Q* воспользоваться также го­довой отчетностью. При ее использовании можем выразить Q* как:

Q* = sqr (2DS / (H(1 – D/P))),

(9.8)

где D – годовой спрос,

Р – годовая производительность.

Модель заказа с резервным запасом. В ряде моделей запасов мы не можем позволить возникновения нехватки запасов или, иначе говоря, мы не можем допустить хранения, которое не соответствовало бы текущему спросу. Однако имеется много си­туаций, в которых запланированная нехватка была бы разумной. Например, для дорогих изделий, хранение которых требует боль­ших затрат, таких, как автомобили или электробытовые приборы. Вряд ли хранение всех моделей было бы разумным.

В этом разделе мы будем предполагать, что возможны нехватки и поэтому возможны страховые запасы, чтобы избежать нехватки. Модели, отражающие такое состояние производства, называются моделями заказа с резервным запасом, или моделями, планирующи­ми нехватку запаса. Основные допущения для этой модели – те же, что и для предыдущих моделей. В дополнение, однако, мы допускаем, что продажи не будут потеряны из–за нехватки запа­сов. Мы будем использовать те же измерения, что и прежде, дополнив их переменной В – затратами единицы страхового за­паса на год. Тогда:

Q – количество единиц на заказ;

D – годовой спрос (потребление), ед.;

Н – затраты хранения единицы в год;

S – затраты переналадки на каждый заказ;

В – затраты единицы страхового запаса в год;

b – превышение страхового запаса, ед.;

Q – b – количество единиц страхового запаса.

Рис. 9.11. Изменение запаса во времени с учетом страхового запаса

Н

а рис. 9.11 показан уровень запаса как функция времени. Общие затраты должны включать затраты на страховые запасы:

ТС = (Затраты переналадки) + (Затраты хранения) + (Затраты страхового запаса).

Исходя из сказанного, определим:

Q* – оптимальный размер заказа в единицах = sqr ((2SD/H)(H + В)/В),	(9.9)
b* – оптимальное превышение страхового запаса, ед. = sqr ((2SD/H)B/(H + B)),

или:

b* = Q * B / (B + H)

(9.10)

и

(Q* – b*) = (Оптимальное количество единиц страхового запаса) = = Q* (1 – В / (В + Н)).

(9.11)

ПРИМЕР 9

Компания является оптовым продавцом электрических буров. Информация о титановом буре G–28 приведена ниже. Мы хотим определить размер оптимального заказа бура G – 2S и оптимальное количество головок, формирующих страховой запас.

D = 20000 головок бура в год.

Н = $2.

S = $15.

В = $10.

1. Q* = sqr ((2SD/H)(H + B)/B).

2. Q* = sqr ((2 (15)(20000)/2))(2 + 10)/2) = sqr ((300000(12/10)) = sqr (360000).

3. Q* = 600 ед. на заказ.

4. Q* – b* = Q*(l – B/(B + H)).

5. Q* – b* = 600 (1 – 10 / (10 + 2)) = 100 ед. страхового запаса в каждом цикле формирования и расходования запаса.

Модели с дисконтируемым количеством. Чтобы увеличить объемы продаж, многие компании предлагают своим покупателям дисконтирование по количеству. Количественный дисконт – это просто снижение цены единицы Р, когда товар покупается в больших количествах. Нет ничего необычного в том, что имеется дисконтная таблица с несколькими значениями дисконта для больших заказов. Типичное расписание количественного дискон­та представлено в табл. 9.2.

Таблица 9.2. Расписание количественного дисконта

Номер дисконта	Дисконтируемое количество	Дисконт, %	Дисконтная цена Р
1	от 0 до 999	0	$5.00
2	1000 – 1999	4	$4.80
3	2000 и выше	5	$4.75

Как видно из таблицы, нормальная цена единицы равна $5. Когда одновременно заказывается от 1000 до 1999 ед. цена за единицу падает до $4.80, и когда заказываемое одновременно количество составляет 2000 ед. и более, цена составляет $4.75 за единицу. В этом случае, как и всегда, служба менеджмента должна решать, когда и сколько необходимо заказать. Но как при наличии количественного дисконта операционному менеджеру принять решение?

В рассмотренных выше моделях запасов глобальной целью было минимизировать общие затраты. Поскольку стоимость еди­ницы для третьего дисконта в таблице 9.2 является наименьшей, может появиться искушение сделать заказ в 2000 ед. или больше, чтобы выиграть на понижении цены изделия. Размещая заказ по величине с наибольшей дисконтной ценой, с другой стороны, можно не достичь минимизации общих затрат на запасы. При увеличении дисконтируемого количества затраты на продукт па­дают, но при этом растут затраты на хранение, поскольку заказ становится большим. Поэтому наибольший выигрыш достигается, когда значение количественного дисконта рассматривается между понижающейся стоимостью продукта и увеличивающимися затратами хранения. С включением затрат на приобретение продукта в расчет уравнение, определяющее общие годовые затраты, при­мет вид:

(Общие затраты) =(Затраты переналадки) + (затраты хранения) + (затраты продукта),

или

ТС – DS/Q + QH/2 + PD, (9.12)

где D – годовой спрос в единицах;

S – затраты заказа или переналадки;

Р – цена единицы изделия;

Н – затраты хранения единицы за год.

Теперь мы можем определить количество, которое будет соот­ветствовать минимальным общим годовым затратам. Процесс по­иска решения состоит из четырех шагов, потому что имеется несколько дисконтов.

1. Для каждого значения дисконта рассчитываем величину Q*, используя следующее уравнение:

Q*=sqr (2DS/IP). (9.13)

Здесь затраты хранения (Н = IP) выражены в виде процента I от цены единицы продукта Р вместо того, чтобы рассматривать их как постоянную величину, приходящуюся на единицу продукта в год Н.

2. Для любого дисконта, если заказываемое количество слиш­ком мало, чтобы быть дисконтированным, изменим заказываемое количество в сторону его увеличения до ближайшей минимальной величины, которую уже можно будет продисконтировать. Напри­мер, если Q* было 500 ед., то для того, чтобы использовать дисконт 2, необходимо изменить величину заказа до 1000 ед. Из табл. 9.2 видно, что если заказываемое количество лежит в интер­вале от 1000 до 1999, оно может быть дисконтировано четырехпро­центным дисконтом. Таким образом, мы увеличиваем заказывае­мое количество до 1000 ед., если Q* меньше 1000 ед.

Соображения относительно шага 2 могут быть и не очевидны­ми. Если заказываемое количество меньше ранжируемого количе­ства, соответствующего дисконтированию, то необходимо иметь в виду, что ранжируемое количество при соответствующем ему дисконте обеспечивает и более низкие общие затраты.

К

ак показано на рис. 9.12, кривая общих затрат распадается на три различных кривых. Имеются кривая общих затрат для первого (0 ≤ Q ≤ 999), второго (1000 ≤ Q ≤ 1999) и третьего дискон­та (2000 ≤ Q). Посмотрим на кривую общих затрат: Q* для дисконта 2 меньше, чем дисконтируемый промежуток от 1000 до 1999 ед. Как показывают цифры, минимально возможное количество еди­ниц заказа в этом диапазоне 1000 ед. является количеством, ми­нимизирующим общие затраты. Таким образом, второй шаг необ­ходим для уверенности, что мы не пропустили то заказываемое количество, которое действительно соответствует минимуму за­трат. Заметим, что заказываемое количество, рассчитанное на шаге 1, которое больше значения диапазона, подлежащего дис­контированию, может быть отброшено.

Рис. 9.12. Кривая общих затрат модели с дисконтируемым количеством

3. Используя уравнение для общих затрат, приведенное выше, рассчитаем общие затраты для каждого Q*, если оно было меньше значения дисконтируемого диапазона. Убедимся, что увеличение значения заказа соответствует величине Q*.

4. Отберем то Q*, которое соответствует самым низким общим затратам, рассчитанным на шаге 3. Оно равно количеству, которое будет минимизировать общие затраты запасов. Посмотрим, как эта процедура может быть применена к конкретному примеру.

ПРИМЕР 10

Компания пользуется дисконтными скидками для оптовых покупателей. Дис­контное расписание представлено в табл. 9.2. Затраты заказа составляют $49 на заказ, годовой спрос равен 5000 ед. товара, и текущие затраты запаса изменяются в проценте от стоимости /, который равен 20% или .2. Какое заказываемое количество минимизирует обшие затраты запаса?

Первый шаг – расчет Q* для каждого дисконта согласно табл. 9.2. Результат следующий:

Q*₁ = sqr (2(5000)(49) / (.2) / (5.00)) = 700 ед. заказ,

Q*₂ = sqr (2(5000)(49) / (.2) / (4.80)) = 714 ед. заказ,

Q*₃ = sqr (2(5000)(49) / (.2) / (4.75)) = 718 ед. заказ.

Второй шаг – корректировка в сторону увеличения тех значений Q*, которые ниже допустимого дисконтируемого диапазона величины заказа. Поскольку Q*₁ находится между 0 и 999, оно не должно быть увеличено. Q*₂ находится ниже значений заказов, входящих в диапазон от 1.000 до 1.999, и поэтому оно должно быть увеличено до 1.000 ед. То же самое можно сказать и о Q*₃ . Оно должно быть увеличено до 2.000 ед. После этого шага получены размеры заказов:

Q*₁ = 700,

Q*₂ = 1000 – увеличено,

Q*₃ = 2000 – увеличено.

Третий шаг – расчет затрат для всех заказываемых количеств, используя уравнения общих затрат. Результат представлен в табл. 9.3.

Таблица 9.3. Расчет общих затрат

Номер дисконта	Цена единицы, $	Заказы-ваемое количество	Годовые затраты на товар, $	Годовые затраты на заказ, $	Годовые затраты хранения, $	Общие затраты, $
1	5.00	700	25000	350	350	25700
2	4.80	1 000	24000	245	480	24725
3	4.75	2 000	23750	1 225	950	24822.5

В результате четырех шагов мы выбрали заказ, соответствую­щий минимальным общим затратам. Согласно данным табл. 9.3, это заказ, равный 1000 ед. Необходимо, однако, заметить, что общие затраты заказа 2000 ед. лишь ненамного больше, чем общие затраты на заказ 1000 ед. Таким образом, если третий дисконт понизить до $4.65, например, тогда заказываемое количество (2.000) может стать тем, которое минимизирует общие затраты запаса.

Вероятностная модель с постоянным текущим временем. Все модели запасов, которые мы рассматривали выше, предпо­лагали, что спрос на продукт постоянен и однороден. Теперь мы освободимся от этого допущения. Рассматриваемая здесь мо­дель запасов используется, когда спрос на продукт неизвестен, но может быть описан вероятностным распределением его зна­чений. Модели этого типа называются вероятностными моделями. Важным значением для службы менеджмента является поддер­жание адекватного уровня сервиса перед лицом неожиданного спроса. Уровень сервиса является дополнением вероятности его отсутствия. Например, если вероятность отсутствия запаса .05, то уровень сервиса равен .95. Неустойчивый спрос повышает вероят­ность отсутствия запаса. Одним методом, понижающим опасность отсутствия запаса, является создание дополнительных единиц хранения запаса, которые позволяют снизить вероятность его отсутствия. Такой запас обычно относится к запасам безопасности (резервный запас). Добавляя некоторое количество резервных единиц к основному запасу, мы как бы создаем буфер для точки перезаказа.

Вспомним наши предыдущие обсуждения:

Точка перезаказа – ROP = dL,

d— дневной спрос,

L – время, необходимое для выполнения заказа, или количе­ство рабочих дней, необходимое на доставку заказа.

Учет резервного запаса (SS) изменит выражение:

ROP = dL + SS.

(9.14)

Количество единиц, формирующих резервный запас, зависит от величины затрат, вызванных отсутствием запаса, и затрат хранения дополнительного запаса.

Пример 11 показывает, как это происходит в одной из компа­ний.