- •10. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.
- •11. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.
- •12. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия экстремума.
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба графика функции
- •13. Формула Тейлора для функции одной переменной.
- •15. Функции многих переменных. Ограниченность функции. Предел функции многих переменных.
- •16. Функции многих переменных. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.
- •17. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью частных производных.
- •18. Производные функции по направлению, градиент.
- •19. Экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
- •Примеры исследования функции на экстремум.
- •20. Формула Тейлора для функции одной и многих переменных.
- •20. Условный экстремум.
- •22. Неявные функции, теорема о неявной функции. Производная неявной функции.
- •23.Определенный интеграл Римана, сумма Дарбу, критерий интегрируемости. Простейшие свойства интеграла Римана. Интегральные суммы. Интегрируемость.
- •§2.Верхние и нижние суммы.
- •Основные св-ва определенного интеграла.
- •24. Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •27. Несобственные интегралы, критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости: признак сравнения, признаки Абеля и Дирихле.
- •32. Формулы Грина, Стокса и Остроградского.
- •34. Функции комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность.
34. Функции комплексного переменного. Предел функции. Непрерывность.
Комплексным числом z называется выражение вида , где x и y – любые действительные числа, а i – мнимая единица, удовлетворяющая условию . Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются .
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .
Комплексные числа и cчитаются равными тогда и только тогда, когда , .
Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .
Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число .
Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число .
Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению , т.е. .
Говорят, что на множестве задана функция , если задан закон, по которому каждой точке ставится в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений .
Пусть и . Тогда задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных , .
Пример 1.
Найти действительную и мнимую части функции .
Решение.
Полагая , , получим
.
Следовательно, - действительная часть,
- мнимая часть функции .
Пример 2.
В какую кривую отображается окружность с помощью функции .
Решение.
Зададим окружность с помощью полярных координат: , . Тогда, , т.е. , . Значит, образом окружности в плоскости z будет окружность в плоскости w, проходимая дважды.
Элементарные функции комплексного переменного.
1. Дробно-рациональная функция
.
Показательная функция комплексного переменного задается формулой:
.
Показательная функция обладает следующими свойствами:
, где и - любые комплексные числа;
, т.е показательная функция является периодической с чисто мнимым периодом .
Тригонометрические функции и определяются формулами:
, .
Функции и - периодические с действительным периодом и имеют только действительные нули
и , соответственно.
Функции и определяются равенствами :
, .
Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии.
Гиперболические функции , , , определяются равенствами :
, , , .
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:
, , , ,
, , , .
Логарифмическая функция , , определяется как функция, обратная к показательной, причем
, .
Эта функция является многозначной. Главным значением называется то , которое получается при и обозначается
.
Очевидно,
, .
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
,
.
Обратные тригонометрические функции , , , определяются как функции, обратные соответственно к функциям . Так , если , то называется арксинусом числа и обозначается . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические:
,
,
,
.
Главные значения обратных тригонометрических функций , , , получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.
Общая степенная функция , где - любое комплексное число, определяется соотношением
.
Эта функция многозначная, ее главное значение .
Общая показательная функция , где - любое комплексное число, определяется равенством
.
Главное значение этой функции .
Пример 1.
Найти значение модуля функции в точке .
Решение.
Так как , то
.
Тогда
= .
Полагая , найдем
.
Как видим, тригонометрическая функция комплексного переменного может принимает значения, по модулю большие единицы.