Оптическое преобразование Фурье
Спектрометр – анализатор частот Анализатор длин волн
На призму с дисперсией падает Когерентная волна падает
волна с зависимостью на плоский транспарант с
от времени . коэффициентом пропускания .
Преобразование призмой: Преобразование линзой:
время → частота, координата → волновое число,
, ,
– распределение амплитуд – распределение амплитуд
по углам и частотам. в фокальной плоскости
, ,
Теоремы Фурье
Линейность преобразования
. (1.5)
Масштабное преобразование аргумента функции
. (1.6)
Доказательство: Из (1.1)
.
Функция Гаусса
, .
При масштабном преобразовании с – сжатие по x в 2 раза (переход от сплошной линии к пунктирной), растяжение по k и уменьшение амплитуды в 2 раза.
Инверсия аргумента
Из (1.6) при
. (1.7)
Четности функции и образа совпадают.
Теорема о частотной полосе
, (1.8)
где дисперсии
;
.
Уменьшение пространственной протяженности функции приводит к увеличению ее частотной протяженности , и наоборот.
Равенство в (1.8) выполняется для функции Гаусса
,
,
, ,
.
Смещение аргумента
. (1.9)
Доказательство: Из (1.1)
.
Фазовый сдвиг
. (1.10)
Доказательство: Из (1.1)
.
Комплексное сопряжение
, (1.11)
Доказательство: Из (1.1)
,
.
Из (1.7) и (1.11)
,
получаем:
если – вещественная и четная, то вещественная;
если – вещественная и нечетная, то мнимая;
если – мнимая и четная, то мнимая;
если – мнимая и нечетная, то вещественная.
Теорема Парсеваля
. (1.14)
В физике выражает закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
= .
Обобщенная теорема Парсеваля
. (1.15)
Ортонормированность базиса и его образа
Если функции ортонормированны
, (1.16)
то их фурье-образы также ортонормированны
. (1.17)
В (1.14) полагаем и .
Интегральная теорема – прямое и обратное преобразования восстанавливают непрерывную функцию
,
. (1.20)
Доказательство: Из (1.2) и (1.1) с заменой порядка интегрирований
,
где использовано
.
Следовательно, для непрерывной функции
, . (1.20а)
Теорема о парах функций и
Если
,
то
. (1.21)
Доказательство: Используем (1.1), заменяем аргумент
.
Сравниваем с (1.2) после замены: , , и получаем (1.21).