Примеры фигур, обладающих осевой симметрией

Фигуры, не обладающие осевой симметрией:

• параллелограмм, но не прямоугольник и не ромб,

• разносторонний треугольник,

• неравнобедренная трапеция.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси узоры на коврах, тканях, обоях. Сим­метричны многие детали механизмов.

Осевая симметрия обладает важным свойством, сформулированным в следующей теореме.

Теорема. Осевая симметрия является движением, то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками.

Дано: М, N, М ^Sa > M_x, N ^Sa > N.

Доказать: MN = M_XN\.

Рис. 5

Доказательство

Sa

->M ₁, N

Из точек N и N\ проведем перпендикуляры NP и N₁P₁ к прямой ММ\. Рас­смотрим получившиеся прямоугольные треугольники MNP и M₁N₁P₁:

Sa

-> Ni, поэтому МО = ОМ₁ и

По условию теоремы, М NO₁ = O₁N₁, ММ₁± а и NN₁ ± а.

Так как перпендикуляры к одной прямой параллельны, то ММ₁ || NN₁. Значит, NP = N₁P₁ как расстояния между параллельными прямыми ММ₁ и NN₁.

Так как на прямой NN₁ отложены равные отрезки NO₁, O₁N₁ и через их концы проведены параллельные прямые NP и N₁P₁ (NP || N₁P₁ как перпендику­ляры к прямой ММ₁), то по теореме Фалеса РО =ОР₁, значит и МР = M₁P₁.

Получили, что NP = N₁P₁ и МР = M₁P₁. Следовательно, D MNP = D M₁N₁P₁ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам). В рав­ных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому гипотенузы также равны, то есть MN = M₁N₁. Значит, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М₁ и N₁.

Возможны другие случаи расположения точек М, N и М₁, N₁, они пред­ставлены на рисунке 5, в каждом из них MN = M₁N₁.

Итак, осевая симметрия является отображением плоскости на себя, ко­торое сохраняет расстояние между точками, то есть является движением плос­кости.

Ч.т.д.

Рис. 4

Замечание. Осевую симметрию можно представить как поворот плоско­сти в пространстве на 180° вокруг оси а.

1. Теорема Пифагора.

2. Центральная симметрия. Определение, примеры.

Билет № 16 Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сум­ме квадратов катетов.

b

a

b

b

b

a

Дано: прямоугольный треугольник, а, b - катеты, с - гипотенуза.

Доказать: а² + b² = с².

Доказательство

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна (a + b) .

С другой стороны квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с.

Докажем, что этот четырёхугольник, действительно, является квадратом. По построению в четырёхугольнике все стороны равны с, поэтому по признаку параллелограмма он - параллелограмм.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^о, то Z1 + Z2 = 90^о. По построению Z3 и Z4 соответственно равны Z1 и Z2, значит, Z3 + Z4 = 90^о. Z3, Z4 и Z5 образуют развёрнутый угол, поэтому Z3 + Z4 + Z5 = 180^о, следовательно, Z5 = 90^о.

Получили, что в параллелограмме один из углов прямой, поэтому по при­знаку прямоугольника он - прямоугольник, а так как в прямоугольнике все сто­роны равны, то он является квадратом.

Итак, площадь получившегося квадрата равна сумме площадей четырёх

прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 2 ab, и

площади квадрата со стороной с, которая равна с².

1 2 2 Следовательно, S = 4-2ab + c = 2ab + c .

22 b) и S = 2ab + с , отсюда,

a² + 2ab + b²

2 i u2 2

Таким образом, S = (а

2ab + с²

a + b = с .

Итак, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ч.т.д.

Замечание. В настоящее время насчитывается более ста различных дока­зательств теоремы Пифагора, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гин- неса. Однако принципиально различных идей в этих доказательствах использу­ется сравнительно немного.

Вопрос № 2

Центральная симметрия. Определение, примеры

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной не­которой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Примером отображения плоскости на себя является центральная симмет­рия.

Две точки А и Ai называются симметричными относительно точки О,

если О - середина отрезка АА₁.

A

Построение

1. А, О - центр симметрии;

2. АО;

3. ОА1 = ОА, ОА1 с ОА;

4. А₁ - искомая.

А ——® А₁

Пусть точка О - центр симметрии.

Возьмем произвольную точку А, и построим симметричную ей точку А1 относительно точки О.

Для этого проведем прямую АО и отложим на ней отрезок ОА₁ = АО.

Точка А₁ - искомая.

Z

Точка О считается симметричной самой себе: О —>О .

Если точка А совпадает с центром симметрии, то она тоже считается

Z

симметричной самой себе: А —> А.

Мы видим, что с помощью центральной симметрии каждой точке А плос­кости ставится в соответствие точка А1 этой же плоскости. При этом любая точка А₁ оказывается сопоставленной некоторой точке А. Значит, центральная симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Рис. 1

Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят, что «фигура обладает центральной симметрией».

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Е2 ф

Рис. 2

Центром симметрии окружности является центр окружности.

Центром симметрии параллелограмма (прямоугольника, квадрата, ромба) является точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией, но в отличие от окруж­ности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точку О), у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является центром сим­метрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют центр симметрии. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, ар­хитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симмет­рией. В большинстве случаев симметричны относительно центра лепестки цве­тов, узоры на коврах, тканях. Симметричны многие детали механизмов, напри­мер, зубчатые колеса.

Центральная симметрия обладает важным свойством, сформулированным в следующей теореме.

Теорема. Центральная симметрия является движением, то есть отображе­нием плоскости на себя, сохраняющим расстояние между точками.

1

Рис. 3

ь

Дано: М, N, М - N-

Доказать: MN = M_bN_b.

Доказательство

Рассмотрим D OMN и D OM₁N₁.

Z z

По условию теоремы М M1, N N1, поэтому МО = ОМ₁ и

NO = ONZ 1 = Z 2 как вертикальные.

Следовательно, D OMN = D OM₁N₁ по I признаку равенства треугольни­ков (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому MN = M₁N₁. Значит, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М₁ и N₁.

Итак, центральная симметрия является отображением плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками, то есть является движением плоскости.

Ч.т.д.

Замечание. Центральную симметрию можно представить как поворот всей плоскости вокруг точки О на 180°.

1. Теорема синусов.

2. Серединный перпендикуляр. Определение, свойство.