3.3.2. Модели оптимального размера заказа в условиях периодического накопления запаса

Модель экономичного размера производственного заказа (модель EPQ). В прак­тике закупочной, производственной и сбытовой логистики достаточно часто встречается ситуация, когда определенные партии МР (сырья, материала, заготовок, деталей, узлов, комплектующих изделий и товаров) поступают на склад ЛС (или логистический узел) не единовременно целиком, а в течение определенного (конечного) периода. Эта ситуация наиболее характерна при планировании запасов незавершенного производства, т. е. для производственной (промышленной, сельскохозяйственной или строительной) логистики. Условия движения запаса МР в такой хозяйственной ситуации для одного цикла можно наглядно представить в графическом виде (рис. 3.3).

S

t

Q /p

T = Q /b

S^max

Q

Рис. 3.3. Движение текущего запаса в условиях периодического поступления и равномерного потребления материального ресурса

Интервал поставки при заданных условиях складывается из двух периодов: Т=t₁ + t₂, где t₁ — период, когда происходит поступление МР в запас с интенсивностью р при одновременном его расходе (производ­ственном потреблении) с интенсивностью b; t₂ — период потребления МР из запаса с интенсивностью b.

Основным условием такого движения запаса, при котором происхо­дит накопление запаса в условиях одновременного поступления и рас­хода МР за период t₁ = Q / р, будет р > b. В случае, если р < b, текущие производственные потребности не будут покрываться за счет собствен­ного производства (дефицитная ситуация) и необходимо организовать дополнительное производство данных изделий (т. е. увеличить пока­затель р) или прибегнуть к внешним источникам снабжения. В случае, когда р= b, размер текущего запаса будет оставаться неизменным (т. е. S = const), а сами данные условия будут соответствовать ситуации, обеспечивающей функционирование ЛС по критерию JIТ.

Очевидно, что максимальный уровень текущего запаса при заданных условиях будет меньше размера партии поставки, т. е. должно соблюдаться неравенство S^max < Q. Максимальное значение функция S(t) принимает при t = Q / p. Отсюда следует, что максимальный уровень текущего запаса в условиях периодического пополнения и равномерного расхода будет:

S^max = Q * (1- b / p). (3.15)

Выражение для среднего размера текущего запаса S в интервале между очередными поставками примет вид:

S = Q/2 * (1 – b/p). (3.16)

Суммарные издержки на формирование и содержание запаса на один заказ (партию поставки) или один цикл поставки будут определяться таким образом:

L _общ = L_зак + L_хр = K + c*Q + h* S * T = K + c*Q +

+ h * Q²/2 * (1/b – 1/p). (3.17)

Удельные издержки, т. е. затраты в расчете на единицу заказываемого МР, будут иметь вид:

l_общ = L_общ / Q = K/Q + c + h * Q/2 * (1/b – 1/p). (3.18)

При выборе стратегии производственного заказа под K понимают затраты на организацию каждого производственного цикла, т. е. затраты на запуск партии изделий в производство, а под с – себестоимость производства единицы продукции. Выполнив простейшие математические преобразования получим оптимальный размер заказа в условиях периодического поступления и равномерного потребления запаса:

Q^* = (2K * b/h)^1/2*( p /(p-b))^1/2. (3.19)

Заметим, что эта математическая модель состоит из двух частей. Первая часть представляет собой формулу Уилсона или модель EOQ, а вторая является поправочным коэффициентом, учитывающим особенности заданных условий. Поэтому формулу (3.19) можно представить в виде следующей модели:

Q^* = EOQ *( p /(p-b))^1/2. (3.20)

Поскольку поправочный коэффициент согласно первоначальным условиям (p > b) больше единицы, то и оптимальный размер заказа при данных условиях пополнения запаса будет больше, чем в идеальных условиях формирования и потребления запаса.

В этих условиях оптимальный максимальный уровень текущего запаса будет определяться как

S^max* = Q^* * (p-b)/p = EOQ *((p-b)/p)^1/2; (3.21)

оптимальный средний уровень текущего запаса

S^* = EOQ/2 *((p-b)/p)^1/2; (3.22)

оптимальное количество заказов (поставок) за плановый период

n^* = B/Q^* = (h*b/2K)^1/2 * ((p-b)/p)^1/2 (3.23)

и оптимальный интервал между поставками составит

T^* = Q^*/ b = (2K/(h*b))^1/2*(p/(p-b))^1/2. (3.24)

Формулы (3.19) и (3.20) носят название модели EPQ – модели экономичного размера производственного заказа.

Модель экономичного размера партии (модель EBQ). Другой достаточно известной разновидностью производственного заказа является модель EBQ (Economic Batch Quantity). Принципиальным отличием в этой модели будет то, что в период t₁ происходит только накопление запаса, без его одновременного потребления (расхода). Однако эта модель имеет определенные отличия от модели EPQ и поэтому рассмотрим ее графическую интерпретацию на одном цикле (рис. 3.4).

S

Рис. 3.4. Движение текущего запаса в условиях периодического накопления и последующего равномерного потребления запаса

t

Q / p

T

Q

M

Интервал поставки при данных условиях также складывается из двух периодов: T = t₁ + t₂ , где t₁ – период, когда происходит накопление запаса с интенсивностью p (без его потребления); t₂ - период потребления МР из запаса с интенсивностью b.

Очевидно, что в таких условиях формирования и потребления запаса его накопление будет определяться отношением t₁ = Q / p, а период расхода МР (потребления запаса) составит t₂ = Q / b. Тогда интервал поставки можно определить как

T = t₁ + t₂ = Q*(1/p + 1/b). (3.25)

М аксимальный уровень текущего запаса при заданных условиях будет равен размеру заказа, т. е. S^max = Q. Средний размер текущего запаса S в интервале между очередными поставками будет равен половине его максимального уровня или S = Q/2.

Методика вывода формулы для определения оптимального размера заказа в заданных условиях аналогична классической (основной) модели управления запасами.

Суммарные издержки на формирование и содержание запаса на весь размер заказа (объем партии поставки) будут определяться таким образом:

L _общ = L_зак + L_хр = K + c*Q + h* S * T = K + c*Q +

+ h * Q²/2 * (1/b + 1/p). (3.26)

Удельные издержки, т. е. затраты в расчете на единицу заказываемого МР, будут иметь вид:

l_общ = L_общ / Q = K/Q + c + h * Q/2 * (1/b + 1/p). (3.27)

Выполнив необходимые математические преобразования получим формулу для определения оптимального размера заказа в заданных условиях периодического поступления:

Q^* = (2K * b/h)^1/2*( p /(p+ b))^1/2. (3.28)

Эта математическая модель носит название EBQ и также состоит из двух частей. Первая часть представляет собой формулу Уилсона или модель EOQ, а вторая является поправочным коэффициентом, учитывающим особенности заданных условий. Поэтому формулу (3.28) можно представить в виде следующей модели:

Q^* = EOQ *( p /(p+ b))^1/2. (3.29)

Поскольку поправочный коэффициент меньше единицы, то оптимальный размер заказа в модели EBQ будет меньше, чем для идеальных условий поступления и потребления запаса.

В этих условиях оптимальный средний уровень текущего запаса будет определяться как

S^* = EOQ/2 *(p/(p+b))^1/2; (3.30)

оптимальное количество заказов (поставок) за плановый период

n^* = B/Q^* = (h*b/2K)^1/2 * ((p+ b)/p)^1/2 (3.31)

и оптимальный интервал между поставками составит

T^* = Q^*(b+ p)/p*b = EOQ / b* ((p+ b)/p)^1/2. (3.32)

Можно сделать вывод, что оптимальный размер производственного заказа в условиях периодического поступления и равномерного потребления запаса при использовании модели EPQ будет превышать объем экономичного заказа, рассчитанного по модели EBQ, за счет экономии на издержках хранения запаса.