4.4.1. Способ вычеркивания в матрицах нулевых строк.
Внимательное рассмотрение направляющей и грузовой матриц показывает, что строка с номером 1 одновременно в обеих матрицах имеет нулевые значения. В таком случае эту строку можно вычеркнуть из сравниваемых матриц, а из матрицы податливости вычеркнуть не только строку с этим номером, но и соответствующий столбец. Такая операция позволяет уменьшить размеры матриц до соответственно 10×3, 10×1 и 10×10. В результате получаем:
;
;
.
4.4.2. Способ вычеркивания в матрицах одной из пары одинаковых строк.
Если продолжать сравнение строк направляющей и грузовой матриц, то можно обратить внимание, что в этих матрицах имеются пары строк, состоящие из одинаковых элементов, причем эти строки должны соответствовать смежным сечениям в ЗРС. Такими строками являются пары 6–7 и 9–10. В каждой паре одну из строк (например, строки 7 и 10) можно вычеркнуть из обеих матриц.
Но эти строки (и столбцы) нельзя вычеркивать из матрицы ! С этой матрицей поступают иначе: цифры, находящиеся на пересечении строк и столбцов с соответствующими номерами складывают, а результат размещают в строке с оставляемым номером (в примере – это 6 и 9), уменьшая тем самым размер и этой матрицы. На стр. 13 овалами выделены те элементы матрицы податливости, которые складываются при выполнении этой операции. Таким образом, минимальные размеры матриц становятся, соответственно 8×3, 8×1 и 8×8.
В результате уменьшения размеров матриц способом вычеркивания одной из пары одинаковых строк получаем:
;
;
.
4.5. Вычисление искомых перемещений точки k .
Формула (2.5) раскрывает матричную форму для вычисления искомых перемещений т. K. В соответствии с этой формулой для определения перемещений сечения K необходимо выполнить следующие шаги:
Записать направляющую матрицу в транспонированном виде
.
Если элементы строк матрицы расставлены в столбцы, а элементы столбцов расставлены в строки, то полученная матрица называется транспонированной к и обозначается .
Умножить транспонированную направляющую матрицу на матрицу податливости .
Умножить полученную в предыдущем пункте матрицу
на грузовую матрицу
.Записать полученные значения перемещений т. K (
,
,
).
;
;
.
Здесь – перемещение т.K вдоль оси X; – перемещение т.K вдоль оси Y; – угол поворота т.K относительно оси Z.
Итак, основная задача примера решена – мы располагаем значениями перемещений т. K оси заданной расчетной схемы. Положительные значения полученных перемещений означают то, что, задавая направляющие нагрузки в виде единичных сил, мы «угадали» истинное направление перемещений.
5. Построение схемы деформирования зрс
Косвенную проверку полученных результатов можно провести, построив деформированное состояние ЗРС по полученным значениям и знакам перемещений в т. K и, сравнив затем полученную картину с деформирующим воздействием приложенных к ЗРС нагрузок.
При построении деформированного состояния нужно учитывать наложенные на ЗРС опорные связи, а также непрерывность и малую величину перемещений точек осей. Схема деформирования, построенная по результатам решения задачи о вычислении перемещений сечения K, представлена на рис. 2.31.
Анализ поведения ЗРС под действующей нагрузкой проводится на основании следующих соображений:
наличие шарнирно-подвижной опоры в узле 4 при действии сосредоточенной силы 2qa приводит к отклонению этого узла вверх и вправо (иначе не сохранить длину участка 4–K и длину опорного стержня);
движению вверх участка 2–4 препятствует распределенная нагрузка q, однако, ее воздействие возле узла 4, как показывают полученные результаты, недостаточно;
под действием изгибающего момента qa2 свободный от закрепления узел 3 переместится вправо и вниз (иначе не сохранить длину участка 2–3);
наличие шарнирно-неподвижной опоры в узле 1, а также воздействие изгибающего момента qa2 и распределенной нагрузки q, приводят к отклонению узла 2 вниз, а учитывая «подталкивание» сосредоточенной силы 2qa – и вправо;
с учетом малости перемещений и их непрерывного характера на рис. 2.31 отражено свойство жестких узлов 2 и 4 в процессе деформирования сохранять перпендикулярность соединяющихся в них участков.
Таким образом, полученные результаты обладают определенной степенью достоверности, как показывает проведенный выше приблизительный анализ деформированного состояния ЗРС.
Рис. 2.31