Уточнения понятия однородности

   Понятие «однородность», т. е. «отсутствие различия», может быть формализовано в терминах вероятностной модели различными способами.

   Наивысшая степень однородности достигается, если обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, т. е. справедлива нулевая гипотеза

H₀ : F(x)=G(x) при всех х.

   Отсутствие однородности означает, что верна альтернативная гипотеза, согласно которой

H₁ : F(x₀) G(x₀)

хотя бы при одном значении аргумента x₀. Если гипотеза H₀ принята, то выборки можно объединить в одну, если нет - то нельзя.

   В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y - математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза

H'₀ : E(X)=E(Y),

   где Е(Х) и E(Y) - математические ожидания случайных величин Х и Y, результаты наблюдений над которыми составляют первую и вторую выборки соответственно. Различие между выборками в рассматриваемом случае - это справедливость альтернативной гипотезы

H'₁ : E(X)  E(Y) .

   Если гипотеза H₀ верна, то и гипотеза H'₀ верна, но из справедливости H'₀ не следует справедливость H₀ . В частности, если в результате обработки выборочных данных принята гипотеза H'₀, то отсюда не следует, что две выборки можно объединить в одну. Однако в ряде ситуаций целесообразна проверка именно гипотезы H'_{0 .} Например, пусть концентрация SiO₂ в мартеновском шлаке определяется весовым (первая выборка) или фотоколориметрическим (вторая выборка) методами. Тогда важно проверить гипотезу об отсутствии систематических расхождений результатов весового и фотоколориметрического методов [2], т.е. гипотезу о равенстве математических ожиданий. Другой пример – из медицины труда. Пусть изучается эффективность лечения определенного профессионального заболевания двумя препаратами; результаты наблюдения - число дней нетрудоспособности, а показатель эффективности лечения - среднее число дней нетрудоспособности на одного больного. Тогда для сравнения эффективности препаратов достаточно проверить гипотезу H'₀ .

Проверим однородность дисперсий. Определим расчетное значение критерия Фишера:

(3.1)

где S₁,S₂ – соответственно дисперсии при силах поджима круга 40Н и 80Н соответственно. Табличное значение F-критерия при уровне значимости  =0,05 и f₁ = f₂ =8 составляет 8,05[6].

Таблица 3.4. Расчетное и табличное значение критерия Фишера.

Время шлифования, мин	Расчетное	Табличное
10	0,426048851	8,05
15	0,893293012	8,05
30	1,700214364	8,05
45	1,196386212	8,05
60	1,352833095	8,05

Так как расчетное значение F – критерия меньше табличного ( F_расч < 8,05 ), то дисперсии однородны.

Определяем доверительный интервал [6]:

(3.2)

где t - критерий Стьюдента, для количества степеней свободы f=0,8, t =2,306.

S_z определяем по формуле [6]:

(3.3)

где n₁, n₂ – количество степеней свободы.

S_св определяем следующим образом:

(3.4)

Результаты расчетов по формулам (3.1) и (3.4) сводим в таблицу 3.5.

 

Таблица 3.5. Данные для проверки однородности дисперсий.

Время шлифования, мин	Средневзвешенное значение Sсв,мкм	Доверительный интервал Z,мкм
10	14,87846432	 17,15486936
15	20,92831814	 24,13035081
30	20,43854442	 23,56564172
45	22,12216309	 25,50685405
60	21,8769342	 25,22410513

 

Проведем проверку однородности результатов параллельных опытов. С этой целью при уровне значимости  =0,05 находим доверительный интервал для каждой пар точек графиков. Расчеты проводим по формулам:

(3.5)

(3.6)

Результаты расчетов приведены в таблице 3.6.

 

Таблица 3.6. Данные для проверки однородности экспериментальных значений величин контактных площадок.

Время	40H			80H
обработки, мин	limax,мкм	limin,мкм	limax,мкм		limin,мкм
10	44,32949	33,00251	44,51002		30,48998
15	53,86283	38,80317	53,07827		37,58773
30	61,99789	46,00211	51,33705		37,32895
45	65,69169	49,64231	61,50592		46,16008
60	63,75573	47,57827	56,16714		41,16686

Так как в соответствии с таблицей 3.6. результаты измерения попадают в доверительные интервалы то средние величины площадок износа можно считать однородными.

Определим разность средних значений величин площадок износа в каждый момент времени обработки по формуле:

(3.7)

В теории надежности согласно принятой терминологии объект исследования называют изделием и понимают под ним элемент, систему или часть системы. Простым объектом считают материальное тело конечных размеров, являющееся однородным во всех измерениях и защищенным от всех внешних воздействий, за исключением приложенной нагрузки. Сложный объект представляет собой гетерогенную систему. Как правило, технические объекты и конструкции составляются из ряда узлов или элементов и представляют собой сложные объекты. Отнесение объекта к простым или сложным зависит от выбранного критерия однородности, т.е. физического уровня оценки гомогенности структуры объекта.

Распределение зерен по параметрам структуры в объеме можно изобразить в виде графиков. Кривая, пик которой достигает 100%, соответствует однородной структуре. Однородность означает одинаковость, эквивалентность всех пространственных точек в один и тот же момент времени.

а

Во многих случаях распределение зерен по размерам имеет нормальный или логарифмически-нормальный характер и подчиняется известным соотношениям

В отличие от равномерного распределения данных в случае Fн, при логарифмически-нормальном распределении имеет место крутой спад в области значений L<Lr и пологое изменение при L> L r.

На рисунке 2.8 показано распределение кристаллов по размерам для образцов палладия, изготовленных по методу Г.Глейтера прессованием ультрадисперсного порошка.

Это данные компьютерной обработки темнопольных изображений, полученных с использованием ПЭМ (общее число кристаллитов 6150!), а так же рентгеноструктурного анализа. Линии 2, 3 показывают логарифмически нормальное распределение результатов ПЭМ и РСА.

Рис 1

Рис 2