- •Введение
- •Глава 1. Элементы теории вероятностей
- •§1. Основные правила комбинаторики
- •1. Правило сложения
- •2. Правило умножения
- •3. Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§2. Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§3. Операции над событиями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли) Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа
- •Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •4. Теорема Пуассона Если достаточно велико, а - мало, то
- •Решение. Р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§6. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§7. Важнейшие примеры распределений
- •1. Биноминальное распределение
- •2. Нормальный закон распределения
- •3. Распределение Пуассона
- •4. Равномерное распределение вероятностей
- •5. Геометрическое распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§8. Системы случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
6.01. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти систематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа стандартных деталей.
6.02. Точка брошена наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга.
6.03. Случайная величина X имеет следующее распределение:
-
Х
-2
-1
0
1
2
р
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
Найти выражение и построить график функции распределения случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее по абсолютной величине 1. Найти математическое ожидание и дисперсию.
6.04. Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения:
Требуется:
а) найти коэффициент А;
б) построить график плотности распределения ;
в) найти ;
г) найти функцию распределения ;
д) найти математическое ожидание и дисперсию.
6.05. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными:
Найти автоматическое ожидание общего числа попаданий.
6.06. Случайная величина Х подчинена закону Лапласа
.
Требуется:
а) найти коэффициент a;
б) построить графики плотности распределения и функции распределения;
в) найти и .
6.07. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
Определить постоянные и . Найти и .
6.08. Случайная величина X задана функцией распределения:
Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значения, принадлежащие интервалу .
6.09. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах, найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения.
6.10. Случайная величина Х имеет распределение:
Х |
-1 |
-0,5 |
0,1 |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
1 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
р |
0,005 |
0,012 |
0,074 |
0,102 |
0,148 |
0,231 |
0,171 |
0,16 |
0,081 |
0,081 |
0,016 |
Найти:
а) ;
б) ;
в) .
6.11. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения:
Требуется:
а) найти коэффициент С;
б) построить график плотности распределения ;
в) найти функцию распределения ;
г) найти и ;
д) найти .
6.12. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид
Найти вероятность того, что в результате пяти независимых испытаний случайная величина Х ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу . Построить график функции распределения. Найти и .
6.13. Случайная величина X имеет плотность распределения:
Требуется:
а) найти коэффициент С;
б) найти и ;
в) построить график плотности распределения;
г) найти .
6.14. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид
Найти и .
Построить график плотности распределения.
6.15. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё пять раз подряд извлекают шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х – число извлечённых белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить и .
6.16. Пусть дана функция:
При каком значении функция может быть принята за плотность вероятности случайной величины Х? Определить и соответствующей случайной величины Х.
6.17. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина X – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти и .
6.18. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределений случайной величины. Найти и .
6.19. Дан ряд распределения случайной величины X:
-
Х
10
20
30
40
50
р
0,2
0,3
0,35
0,1
0,05
Найти функцию распределения вероятности этой случайной величины.
6.20. Случайная величина X задана функцией распределения:
Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервалы .
Найти плотность распределения случайной величины. Найти и .
6.21. Даны вероятности значений случайной величины Х; значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины X. Найти и .
6.22. В урне 30 шаров, из них 5 белых. Вынули один шар. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Построить функцию распределения .
6.23. Вероятность того, что станок, работавший в момент , не остановится до момента , дается формулой . Найти математическое ожидание и дисперсию рабочего периода станка (между двумя последовательными остановками).
6.24. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределений случайной величины Х – числа попаданий при трёх выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию.
6.25. Дана функция плотности распределения случайной величины X:
Определить a, , и .