3.5 Уравнения, сводящиеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители .

Так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл, то, разложив на множители соответствующее уравнение, можно представить его как совокупность нескольких уравнений.

Примеры.

1. sin2х sinх  0,5sinх  sin2х =  0,5,

Перенесем  0,5 влево и сгруппируем, т. е. применим алгебраическое разложение на множители. Получим:

sin2х sinх  0,5sinх  sin2х + 0,5 = 0,

sin2х(sinх  1)  0,5(sinх  1) =0,

(sinх  1)(sin2х  0.5) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх  1 =0 или sin2х  0.5 = 0,

х = /2 + n 2х = ( - 1)ⁿ /6 + n, где n Z ,

х = ( - 1)ⁿ /12 + n/2.

Ответ: /2 + n, ( - 1)ⁿ /12 + n/2, где n Z .

2. sin2х = sinх,

Перенесем sinх влево и применим формулу двойного угла для синуса. Получим:

2sinх cosх  sinх = 0,

sinх (2cosх  1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх = 0 или 2cosх  1 = 0,

х = n , где n Z cosх = 1/2,

х =  /3 + 2n , где n Z .

Ответ: n ,  /3 + 2n , где n Z .

3. sinх + sin5х = 0,

Используем формулы перевода суммы в произведение, т. е. применим тригонометрическое разложение на множители. Получим:

2sin3х cos 2х = 0,

sin3х = 0 или cos2х = 0,

3х = n , где n Z 2х = /2 + n , где n Z ,

х = n/3 , х = /4 + n/2 ,

Ответ: n/3 , /4 + n/2 , где n Z .

4. sin³ х  cos³х = sin²х  cos²х,

Применим алгебраическое разложение на множители с использованием формул разности кубов и разности квадратов. Получим:

(sinх  cosх)(sin²х + sinх cosх + cos²х) = (sinх  cosх) (sinх + cosх),

(sinх  cosх)(sin²х + sinх cosх + cos²х)  (sinх  cosх) (sinх + cosх) = 0.

(sinх  cosх)(1 + sinх cosх  sinх  cosх) = 0,

(sinх  cosх)(sinх (cosх  1)  (cosх  1)) = 0,

(sinх  cosх)( cosх  1)(sinх  1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряет смысл.

sinх  cosх = 0 или cosх  1 = 0 или sinх  1 = 0,

sin(х  /4) = 0 cosх = 1 sinх = 1

х  /4 = n х = 2n х = /2 + 2n , где n Z ,

х = /4 + n.

Ответ: /4 + n, 2n, /2 + 2n , где n Z .

4. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений.

Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, используя четность, нечетность функций, формулы приведения;

Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить;

Пункт 3. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 4. При наличии в выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;

Пункт 5. Выполнить алгебраические преобразования;

Пункт 6. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 7. Выполнить тригонометрические преобразования:

1. Преобразования по углу:

а) Углы одинаковые  применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;

б) Углы разнятся в два раза  применить формулы двойного или половинного угла;

в) Углы разные  рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;

2. Преобразование по функции:

а) При одинаковых углах, если степени разнятся в два (и более раз), рассмотреть возможность приведения уравнения к квадратному (высших степеней) уравнению, используя формулы одного аргумента или формулы, приводящие к одной функции (половинного аргумента, универсальной замены);

б) При наличии степеней применить формулы понижения степени;

в) При необходимости приведения к одной функции использовать формулы одного аргумента, формулы половинного угла, формулы выражения синуса, косинуса, тангенса через тангенс половинного угла и другие;

г) При необходимости приведения к кофункции использовать формулы приведения;

Пункт 8. Определить вид уравнения и решать согласно решению установленного вида.

Примечание: