- •1Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •1.1Скалярное произведение.
- •. Симметричность
- •Линейность
- •1.2Векторное и смешанное произведение.
- •1.3Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •2Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Симметричность:
- •2.1 Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •2.2 Ортогональность.
- •2.3 Процесс ортогонализации.
- •2.4 Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •2.5 Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •2.6. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •2.6.1Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •2.6.2Нормальное решение
- •2.6.3Нормальное псевдорешение.
- •3Унитарное пространство.
- •4Билинейные функции, квадратичные формы.
- •4.1Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •4.2 Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •4.3 Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •4.4 Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •4.4.1Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •4.4.2Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •4.4.3Закон инерции квадратичных форм.
- •4.4.4Теорема Якоби
- •4.4.5Критерий Сильвестра.
- •5Квадрики.
- •5.1 Алгебраическая поверхность
- •5.2 Уравнение квадрики.
- •5.3Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •5.4 Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •5.5Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •5.6Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •6.1.3Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •6.2Алгебра линейных операторов.
- •6.3 Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •6.3.1Эквивалентность матриц
- •6.3.2Ранг, дефект линейного оператора.
- •7Линейное преобразование
- •7.1Линейное преобразование. Его матрица
- •7.2Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •7.3 Алгебра линейных преобразований.
- •7.4 Инвариантные пространства
- •7.5 Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •7.6Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •7.7 Диагонализируемые преобразования
- •7.8 Теорема Шура
- •8 Сопряженные преобразования.
- •8.1 Линейное преобразование и билинейные функции
- •8.2 Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Если w инвариантное подпространство , то ортогональное дополнение к w инвариантно относительно .
- •8.3 Нормальное преобразование и его свойства.
- •8.4 Ортогональные преобразования
- •8.5Самосопряженное преобразование.
- •8.6Полярное разложение
- •9 Приведение квадратичных форм
- •9.1 Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •9.2 Приведение пары квадратичных форм
- •9.2.1Первый способ
- •9.2.2Пучок матриц
- •9.3 Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •9.4Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •9.5Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •10 Аннулирующий многочлен
- •10.1Аннулирующий многочлен вектора.
- •10.2Аннулирующий многочлен подпространства
- •10.3Функции от матриц
- •10.4Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
10.4Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
Последовательность называется линейной рекуррентной, если существуют такие коэффициенты , что для любого n справедливо равенство . Для задания линейной рекуррентной последовательности, кроме ее коэффициентов, необходимо знать первые k членов , которые называются начальными условиями. Рассмотрим задачу выражения n-го члена последовательности через его номер и начальные условия.
Обозначим через вектор столбец, состоящий из k компонент , через — матрицу размерами вида . По правилу перемножения матриц имеем: . Многократным применением полученной формулы выводим . Задача вычисления n-го члена последовательности свелась, тем самым, к вычислению матрицы .
Характеристический многочлен матрицы А равен . Разделим многочлен на с остатком. Пусть , где - остаток от деления. Подставив вместо λ матрицу А, получим . По теореме Гамильтона-Кэли каждая матрица является корнем своего характеристического уравнения, то есть , где 0 - нулевая матрица. Таким образом, , и задача вычисления свелась к вычислению многочлена r(λ).
Разложим многочлен на линейные множители , где . Для каждого неотрицательного j строго меньшего справедливо равенство , где - j-ая производная характеристического многочлена. Продифференцировав j раз равенство и, подставив в него , получим . Этими условиями многочлен r(λ) степени k-1 определяется однозначно. В литературе задача вычисления многочлена по таким условиям носит название «интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра».
В качестве примера вычислим n-ый член линейной рекуррентной последовательности , где . Положим . Характеристический многочлен равен . Остаток от деления на удовлетворяет соотношениям и . Единственный многочлен первой степени, удовлетворяющий этим условиям, равен . Таким образом, и .