5Теория Галуа

Поле T называется конечным расширением поля P, если T является конечно мерным линейным пространством над P. Размерность пространства называется степенью расширения.

Любое алгебраическое расширение поля P является конечным. Его степень равна степени неприводимого многочлена.

Теорема 5.28. Конечное расширение U поля T, являющегося конечным расширением поля P, является конечным расширением P. Причем степень расширения U над P равна произведению степеней расширения.

Доказательство. Почти очевидно.

Элемент поля T называется алгебраичным над P, если он является корнем некоторого многочлена над P.

Все элементы конечного расширения P алгебраичны над P.

Любое конечное расширение может быть получено с помощью присоединения конечного числа алгебраических расширений.

Теорема 5.29. Любое конечное расширение поля P характеристики 0 является простым расширением.

Доказательство не очевидно.

Конечное расширение T называется нормальным расширением P, если из факта, что неприводимый многочлен над P имеет в T корень, следует его разложимость на линейные множители. Ясно, что нормальное расширение поля характеристики 0, является полем разложения многочлена. Верно и обратное утверждение. Поле разложения многочлена является нормальным расширением.

Автоморфизмом поля называется изоморфное отображение само на себя.

Группой Галуа нормального расширения T поля P называется группа автоморфизмов поля T, сохраняющая элементы поля P.

Теорема 5.30. Каждому промежуточному полю U, соответствует некоторая подгруппа группы Галуа, а именно, совокупность тех автоморфизмов, которые не меняют элементы . Поле определяется подгруппой однозначно.

6 -матрицы.

6.1Кольцо матриц. Эквивалентность матриц.

Рассмотрим кольцо матриц порядка n с элементами из кольца K. Будем считать, что кольцо K с единицей. Элемент называется обратимым, если найдется , что (т.е. для него существует обратный элемент).

Матрица называется унимодулярной, если для нее существует обратная с элементами из кольца K (т.е. матрица A является обратимым элементом кольца матриц).

Теорема 6.31. Матрица является унимодулярной тогда и только тогда, когда ее определитель есть обратимый элемент кольца .

Доказательство. Не сложное.

Свойство 6.26. Произведение унимодулярных матриц – унимодулярная матрица.

Доказательство. Следует из того, что произведение обратимых элементов – обратимый элемент .

Свойство 6.27. Следующие преобразования со строками равносильны умножению слева на унимодулярную матрицу:

1. Перестановка строк

2. Умножение строки на обратимый элемент кольца

3. Прибавление к строке строки , умноженной на элемент кольца .

Аналогичные преобразования со столбцами равносильны умножению справа на унимодулярную матрицу.

Доказательство. Выписать матрицу элементарного преобразования и показать ее унимодулярность.

Матрицы и называются эквивалентными, если найдутся унимодулярные матрицы и , что A=UBV.

Пусть K – евклидово кольцо (т.е. в нем определена операция деления с остатком).

Матрица , где при называется нормальной диагональной формой Смита.

Теорема 6.32. Для любой матрицы существует эквивалентная ей нормальная диагональная форма Смита.

Доказательство. Достаточно привести матрицу с помощью элементарных преобразований (Свойство 6 .27) к нормальной диагональной форме Смита.

Обозначим через - наибольший общий делитель миноров k-го порядка матрицы A.

Лемма 6.3. Пусть , тогда .

Доказательство. Строки матрицы A являются линейными комбинациями строк матрицы B. Следовательно, по свойствам определителя (его линейности), любой минор k-го порядка матрицы A является линейной комбинацией миноров k-го порядка матрицы B, и, значит, .

Следствие 6.13. Пусть , где - унимодулярная матрица. Тогда .

Доказательство. Следует из равенств , и Лемма 6 .3.

Следствие 6.14. Пусть , где и - унимодулярные матрицы. Тогда .

Доказательство. По Следствие 6 .13 . Далее и (Следствие 6 .13), следствие доказано.

Теорема 6.33. Нормальная диагональная форма единственна.

Доказательство. Пусть A эквивалентна нормально диагональной форме Смита S. Тогда , где . Следовательно, , , …, . Все элементы нормальной диагональной формы Смита определены однозначно.