Вращение абсолютно твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
Кинетическая энергия вращающегося тела:
В случае плоского движения тела:
-
масса катящегося тела,
- скорость центра масс тела,
– момент инерции тела относительно
оси, проходящей через его центр масс,
- угловая скорость тела.
– уравнение
динамики вращательного движения
твердого тела относительно неподвижной
оси, где J – главный момент инерции
тела.
Момент инерции тела. Момент инерции материальной точки, обруча, диска, шара, стержня. Теорема Штейнера.
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
Для диска:
Для шара:
Для стержня:
Теорема Штейнера: Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции
относительно параллельной оси,
проходящей через центр масс C тела, и
произведения массы m тела на квадрат
расстояния r между осями:
21. Сложение колебаний одного направления.
Пусть имеются два гармонических колебания:
Тогда находим результат сложения этих колебаний:
И амплитуду результирующего колебания:
Два важных случая:
1)
– колебания синфазные,
2)
– колебания противофазные,
22. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, которые называются фигурами Лиссажу.
Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде:
где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как:
,
и
заменяя во втором уравнении
на
и на
,
найдем после несложных преобразований
уравнение эллипса, у которого оси
ориентированы произвольно относительно
координатных осей:
-
(2)
Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:
-
в этом случае эллипс становится отрезком
прямой:
(3)
-
в этом случае уравнение станет иметь
вид:
(4)
23. Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
дифференциальное
уравнение колебаний математического
маятника