Линейным неоднородным д.У. Порядка n называется д.У.
,
ai
(x)
– непрерывные на (a; b)
функции.
(2)
Если f(x)=0 то уравнение (2) называется однородным.
Определ. Система n линейно независимых на (a; b) решений лин. однородного д.у. называется фундаментальной системой решений.
Теорема. Если
функции ai
(x)
– непрерывные на (a; b)
, то общее
решение л.о.д.у есть функция
,
где Сi
(i=1,... ,n)
- произвольные постоянные,{ y1,…
yn-}-
фундаментальная система решений этого
уравнения.
Теорема. Пусть y1,y2,..yn x∈ (a;b) – решения л.о.д.у. Функции y1,y2,..yn линейно независимы на (a;b) тогда и только тогда когда определитель Вронского( вронксиан) W(x)<>0 не равен нулю на (a; b).
.
Способ Эйлера построения общего решения л.О.Д.У. С постоянными коэффициентами
ai – постоянные коэффиценты ЛОДУ. При этом частные решения могут быть найдены в виде y=ekx, где k – постоянная( может быть и комплексным). Действительно, подставляя в начальное уравнение y = ekx и y(p) = kpekx (p=1, 2, …, n), будем иметь:
Сокращая на необращающийся в нуль множитель ekx, получим так называемое характеристическое уравнение
Это уравнение n-й
степени определяет те значения k,
при которых y=ekx
является решением исходного уравнения.
Если все корни различны, то найдено n
линейно независимых решений
,
,
…,
.
Значит
,
где Сi
– произвольные постоянные, является
общим решением первоначального уравнения.
Если имеются
комплексный корень характеристического
уравнения, например k1=α+iβ,
он всегда будет идти вместе со своим
комплексно сопряжённым k2=
α-iβ,
то к решению добавится слагаемое:
.
Если имеются кратные
корни характеристического уравнения,
например имеем m
кратных корней k1=k2=…=km=p.
тогда к
решению добавится слагаемое:
.
Если имеются кратные
комплексные корни характеристического
уравнения, например имеем корень p+iq
кратности
m.
А значит и корень p-iq
той же кратности. Тогда к решению
добавится слагаемое:
.
37. Структура общего решения линейного неоднородного ду n-го порядка. Метод Лагранжа. Построение частного решения неоднородного ду с постоянными коэффициентами при специальной правой части.
Структура общего решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянныхC1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).
Общее решение лин.неоднородного ду есть y(x,C1,..., Cn) = y0(x) + y*(x), где y0 – решение лин.однрород. ду соотв.данному, y*(x) – частное решение неоднородного ду.
{ Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функцииy1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения. }
Пример.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью
y’’-y = 2-x^2
y’’-y = 0, k^2 – 1 = 0;
k1,2 = +-1, y1 = e^x, y2 = e^-x.
частным решением неодродного является функция
y*(x) = A*x^2+B*x + C
y*(x) = x^2
Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1(x) = e^x , y2(x) = e^-x.
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
Y(C1,C2, x) = C1*y1 + C2*y2 + y*(x)