61. Вывод уравнения теплопроводности.

Рассматривается твердое изотропное тело, занимающее область  в трехмерном пространстве, отнесенном к декартовой системе координат x, y, z. Введем обозначения: u(x,y,z) - температура в точке тела с координатами x, y, z в момент времени t, p(x,y,z) - плотность, c(x,y,z) - удельная теплоемкость, k(x,y,z) - коэффициент теплопроводности тела, f(x,y,z,t) - плотность источников тепла, распределенных в теле. В основе вывода уравнения для определения функции u лежит принцип сохранения, по которому все тепло поступающее в некоторый выделенный объем  за счет теплопроводности от окружающих  участков тела  и за счет источников тепла, распределенных в , идет на увеличение температуры . Считается также, что перераспределение температуры в теле подчиняется закону Фурье. Приведем формулировку этого закона. Пусть  - произвольная площадка в теле , ориентированная единичной нормалью n. Количество тепла q, протекающее через  в направлении n за промежуток времени от t₁ до t₂, вычисляется по формуле Составим теперь уравнение баланса тепла для произвольной подобласти  с кусочно гладкой границей . В соответствии с законом Фурье количество тепла, поступившее в  за промежуток времени (t₁,t₂) равно Здесь n - единичная нормаль к , внешняя по отношению . Количество тепла, поступившее в  за этот же промежуток времени за счет источников тепла есть Количество тепла затраченное на изменение температуры тела  от наблюдавшейся в момент времени t₁ до наблюдавшейся в момент времени t₂ равно Вследствие сформулированного выше принципа сохранения Q₁+Q₂=Q₃. Это так называемое интегральное уравнение баланса тепла. Получим на основании этого уравнения дифференциальное уравнение теплопроводности. Используя формулу Остроградского-Гаусса, можем написать По формуле Ньютона-Лейбница Предположим далее, что функции f, k, u, c,  таковы, что функция  = f+(ku_x)_x+(ku_y)_y)+ (ku_z)_z -cu_t непрерывна в области . Покажем, что (x,y,z,t)=0  (x,y,z) и при любом t. Если предположить противное, то найдутся (x₀,y₀,z₀) и t₀ такие, что (x₀,y₀,z₀,t₀)0. Для определенности будем считать, что (x₀,y₀,z₀,t₀) > 0. Случай, когда (x₀,y₀,z₀,t₀) < 0, рассматривается точно так же. Вследствие непрерывности функции  найдутся окрестность ₀ точки (x₀,y₀,z₀), принадлежащая области , и интервал (t₀-,t₀+) такие, что (x,y,z,t) > 0 при (x,y,z)  ₀, t(t₀-,t₀+), Но тогда а это противоречит тому, что равенство (1) выполняется при любых ,  t₁, t₂. Остается принять, что  = 0 всюду в области  и при всех t. Таким образом, функция u удовлетворяет уравнению Это уравнение называется уравнением теплопроводности. Отметим важный частный случай, когда тело  однородно: k, c,  - постоянны. Уравнение (2) при этих условиях может быть записано в виде u_t=a²u + g где a²=k/c, g=f/c, u = u_xx+u_yy+u_zz - оператор Лапласа. Уравнение (3) называется уравнением теплопроводности с постоянными коэффициентами.

62. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

Задача Коши для однородного уравнения колебаний струны состоит в отыскании функции u(x,t), удовлетворяющей уравнению u_tt=a²u_xx, -<x<,  t>0, (1) и начальным условиям u(x,0)=u₀(x), u_t(x,0)=u₁(x) , -<x<,  (2). Здесь u₀, u₁ - заданные функции, a={T/}, T - натяжение,  - линейная плотность струны. Ниже будет показано, что постоянная  определяет скорость распространения возмущений по струне (скорость звука). Решение задачи (1), (2) может быть найдено в явном виде. Выполним в уравнении (1) замену независимых переменных, полагая  =x-t, =x+at. В этих переменных уравнение (1) принимает вид u_=0. Интегрируя последнее уравнение по , получим u_=g₁(), где g₁ - произвольная функция, откуда u(,)=f()+₀^d, где f - произвольная функция. Следовательно, u(,)=f()+g(), возвращаясь к старым переменным, получим u(x,t)=f(x-at)+g(x+at). (3). Функция u, определяемая формулой (3), при любых дважды непрерывно дифференцируемых функциях f, g - решение уравнения (1). Выберем теперь функции f, g так, чтобы были выполнены и начальные условия. Ясно,что u(x,0)=f(x)+g(x)=u₀(x),     u_t(x,0)=-af’(x)+ag’(x)=u₁(x). Интегрируя второе из этих уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения функций f, g: Формула (4) называется формулой Даламбера. Определяемая ей функция u - решение задачи (1), (2), если u₀ дважды непрерывно дифференцируема, а функция u₁ один раз непрерывно дифференцируема. Понятно, что формула (4) сохраняет смысл и при любых непрерывных функциях u₀, u₁. В этом случае она определяет так называемое обобщенное решение задачи Коши для уравнения колебаний струны.

Проанализируем смысл постоянной a. Предположим, что функции u₀, u₁ тождественно равны нулю при x  c, где c - некоторая постоянная. Вычисляя по формуле (4) решение задачи (1), (2) в точке x₀, x₀ > c, получим, что оно остается равным нулю для всех t  (x₀-c)/a. Это означает, что возмущения распространяются по струне с конечной скоростью, равной a.