73. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.

Формулы, позволяющие получать приближенное значение определенного интеграла, называются квадратурными.

Формула:

называется квадратурной формулой, числа q_i – называются весами квадратурной формулы, R –погрешность квадратурной формулы. Квадратурная формула считается заданной, если указано как выбирать x_i. Соотвеств им веса квадратр.формулы q_i и дана оценка погрешности R для определенных классов функции. Квадратурная формула нзв точной для нектр класса функций, если в этой формуле R=0 сразу для всего класса функций.

Опишем один из способов построения квадратурных формул на примере вычисления интеграла вида здесь p(x) - фиксированная функция, положительная на отрезке [a,b] за исключением быть может конечного числа точек, в которых она обращается в нуль. Функцию p(x) принято называть весом; функция f произвольна. Заменим на отрезке [a,b] функцию f интерполяционным полиномом Лагранжа построенным по узлам x_i, i=1,,n, принадлежащим отрезку [a,b]. В результате будем иметь Построенная таким образом квадратурная формула называется интерполяционной, точки x_i называют узлами квадратурной формулы, числа c_i - весами квадр.формулы. Говорят также, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности m, если она точна на любом полиноме, степень которого не больше m.

Отметим основные свойства интерполяционных квадратурных формул. Теорема 1. Интерполяционная квадратурная формула (1) точна на любом полиноме степени n. Док-во. Из теории интерполирования известно, что, если f - полином степени n, то L_n (x)  =  _j=0ⁿ  f(x_j) _i(x)  f(x). Поэтому (см. (1)) I(f)=S_n(f). Теорема доказана.

При построении интерполяционной квадратурной формулы (1) выбор узлов x_i был произволен, предполагалось лишь, что они различны. Но это квадратурная формула при n>=1 является точной на классе многочленов 1-й степени (P₁(x) ).

Если же точки x_i на отрезке [a,b] выбирать специальным образом, то можно построить интерполяционные квадратурные формулы более высокой алгебраической степени точности.

Опр. Интерполяционные квадратурные формулы, построенные по n+1 узлу, алгебраическая степень точности которых равна 2n1, называют квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности.

Теорема 3. Интерполяционная квадратурная формула является квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности тогда и только тогда, когда ее узлами являются корни полинома степени n, ортогонального на отрезке [a,b] с весом p(x). Док-во кому нужно. Напомним, что полином Q_n степени n называется ортогональным полиномом на отрезке [a,b] с весом p(x), если для любого полинома P_m, степень которого m  n1. Известно, что все корни ортогонального на отрезке [a,b] полинома различны и принадлежат отрезку [a,b]. Пусть квадратурная формула S_n интерполяционная, а ее узлы являются корнями ортогонального многочлена Q_n. Докажем, что ее алгебраическая степень точности равна 2n1. Для этого произвольный полином P_2n1 степени 2n1 представим в виде P_2n1(x)   =  Q_n(x) q_n1(x) +  r_n1(x), где q_n1 и r_n1 - полиномы, степень которых не превосходит n1. Из ортогональности многочлена Q_n следует, что С другой стороны, поскольку x_i - корни многочлена Q_n, то

Теор. НЕ сущ.таких узлов xi и весов qi чтобы формула (1) была точна для любого многочлена P2n+2(x).

Убедимся в том, что по n различным узлам нельзя построить квадратурную формулу более высокой алгебраической степени точности. Предположим, что существует квадратурная формула, алгебраическая степень точности которой 2n. Тогда она точна на полиноме (_n)², то есть справедливо равенство Однако правая часть этого равенства, как интеграл от неотрицательной функции, не равной тождественно нулю, строго положительна, а левая равна нулю, поскольку x_i - корни полинома _n. Полученное противоречие свидетельствует о неверности предпосылки, то есть квадратурной формулы, алгебраическая степень точности которой равна 2n, не существует.

(*) – квадратурная формула Гаусса.

Практический смысл квадратурных формул проявляется при интегрировании таких классов функций, ктр могут быть хорошо аппроксимированы многочленами