- •1. Теория напряжений
- •1.1. Понятие сплошной среды. Классификация сил
- •1.2. Тензор напряжений
- •1.3. Напряжения на наклонной площадке (формула Коши)
- •1.4. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды (дифференциальные уравнения Коши)
- •1.5. Закон парности касательных напряжений
- •1.6. Главные площадки, главные напряжения и главные оси тензора напряжений
- •1.7. Инварианты тензора напряжений
- •1.8. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор
- •1.9. Возможные схемы напряженного состояния металла
1.3. Напряжения на наклонной площадке (формула Коши)
Пусть задан тензор напряжений , то есть все его компоненты . Задано также положение в пространстве наклонной площадки ABC направляющими косинусами . Это косинусы углов между нормалью к площадке и осями координат: ; ; (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Напряжения на координатных плоскостях и наклонной площадке
Необходимо получить формулы для расчета напряжения , действующего на наклонной площадке АВС, через компоненты тензора напряжений , которые действую на координатных плоскостях. Напряжение можно выразить через проекции , , . Определим формулы, связывающие (i = x, y, z) с .
Проекции можно определить из условия равновесия тетраэдра, образованного наклонной площадкой АВС и координатными плоскостями xoy, xoz и yoz. На рис. 1.3 напряжения направлены в противоположные стороны от действия для того, чтобы указать, что тетраэдр находится в равновесии.
Когда тело находится в равновесии, то сумма проекций (на оси координат x, y, z) всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю:
.
Спроецируем все силы на ось х и приравняем их нулю. Чтобы найти силу нужно напряжение умножить на площадь. Введем обозначения: dS – площадь наклонной грани тетраэдра MABC, то есть площадь треугольника ABC; ,
, - площади координатных площадок COB, AOC, AOB; – сила, приложенная к наклонной грани; – проекция этой силы на ось х. Тогда можно записать:
.
Из этого выражения следует первая формула в приведенной ниже системе:
. (1.1)
Вторая и третья формулы выводятся аналогично из рассмотрения суммы проекций сил соответственно на оси y и z.
С использованием тензорных индексов i и j формулы (1.1) коротко можно записать следующим образом:
. (1.2)
Формулы (1.1) и (1.2) для расчета напряжений на наклонной площадке называют также формулами Коши [5].
В формулах вида (1.2) с тензорными (немыми) индексами i и j если есть произведение и повторяющийся (одинаковый) индекс слева и справа от произведения, то при подробной записи вида (1.1) проводится суммирование по повторяющемуся индексу.
Из формул (1.1) и (1.2) следует важный вывод: пусть задан тензор напряжений, который представляет собой компоненты напряжений на трех взаимно перпендикулярных координатных площадках, проходящим через данную точку деформируемого тела. Тогда можно рассчитать напряжения на любой площадке, наклонной к координатным плоскостям и заданной направляющими косинусами . Таким образом, тензор полностью описывает напряженное состояние в точке деформированного тела.
Уравнения (1.1) и (1.2) дают проекции вектора напряжений. Найдем модуль напряжения (приведены разные виды записи формулы)
, (1.3)
, (i = x, y, z), (1.4)
, (i = x, y, z; j= x, y, z). (1.5)
Для определения нормального напряжения на наклонной площадке нужно спроецировать на нормаль . Для этого на нужно отдельно спроецировать , , и сложить (приведены разные виды записи формулы):
, (1.6)
, (1.7)
. (1.8)
Полное касательное напряжение :
. (1.9)
Пример. Задан тензор напряжений (компоненты заданы в МПа) и направляющие косинусы:
; ; ; .
Необходимо определить , , , . Для этого последовательно воспользуемся формулами (1.1), (1.3), (1.6) и (1.9):
МПа; МПа; МПа;
МПа; МПа; .