3. Метод січних

Для обчислень методом січних використовуємо таблицю:

X	f(x)
A1	B1
A2	B2
A1-B1*(A2-A1)/(B2-B1)

A1=a

B1=f(A1)

A2=b

B2=f(A2)

Теоретичне обгрунтування:

Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку. Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким

де – наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою

чи

де – деякий невеликий крок.

Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.

Геометрична ілюстрація методу наведена на рис. 3.6.

Рисунок 3.1 – Метод січних

Рішення:

1) arcctg*x+2*x-1=0

Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:

x	y
1	-0,2146
0,9
0,8	-0,10394
0,7	-0,03993
0,6	0,030377
0,5	0,107149

Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:

a	b	c	Y(c)	y(a)
-2	-1	-1,5	0,2933938	0,166667
-1,5	-1	-1,25	0,3852815	0,293394
-1,25	-1	-1,125	0,4397028	0,385282
-1,125	-1	-1,0625	0,4691186	0,439703
-1,0625	-1	-1,03125	0,4843774	0,469119
-1,03125	-1	-1,01563	0,4921435	0,484377

Знаходимо корені рівняння методом дотичних:

-1	-0,26424	-1,26424
-1,20901	0,015008	-1,40302
-1,19831	3,43E-05	-1,3966
-1,19829	1,82E-10	-1,39658
-1,19829	0	-1,39658
-1,19829	0	-1,39658
-1,19829	0	-1,39658

Знаходимо корені рівняння методом січних:

-1	-0,26424
-2	1,270671
-1,17215	-0,03629
-1,19514	-0,00439
-1,19831	2,52E-05
-1,19829	-1,7E-08
-1,19829	-6,7E-14

Відповідь: х≈-1,19829

2) 3x^4 + 4x^3-12x^2-5 = 0;

Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:

x	y
1	1
0	-10
-1	-5
-2	-18
-3	-37
-4	22

Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:

-3	-4	-3,5	126,6875	780721387
-3,5	-4	-3,75	208,5742	5,713E+09
-3,75	-4	-3,875	258,4773	1,346E+10
-3,875	-4	-3,9375	285,8799	2,013E+10
-3,9375	-4	-3,96875	300,2213	2,448E+10
-3,96875	-4	-3,98438	307,5555	2,696E+10
-3,98438	-4	-3,99219	311,2639	2,828E+10
-3,99219	-4	-3,99609	313,1285	2,896E+10
-3,99609	-4	-3,99805	314,0634	2,931E+10

Знаходимо корені рівняння методом дотичних:

-3	22	-144
-2,84722	2,548402	-111,365
-2,82434	0,051875	-106,846
-2,82385	2,3E-05	-106,752
-2,82385	4,55E-12	-106,752
-2,82385	4,26E-14	-106,752
-2,82385	-2,8E-14	-106,752
-2,82385	4,26E-14	-106,752
-2,82385	-2,8E-14	-106,752

Знаходимо корені рівняння методом січних:

-3	22
-4	315
-1,17215	-22,2661
-1,19514	-22,8481
-1,19831	-22,9283
-1,19829	-22,9279
-1,19829	-22,9279
-1,19829	-22,9279
0	-5

Відповідь: х≈-1.19829

3) xlog3(x+l)=l;

Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:

x	y
1	1
2	-0,36907
3	1
4	2,7855785
5	4,8598941
6	7,1546488

Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:

2	3	2,5	1,850785	0,7648373
2,5	3	2,75	2,308564	1,5142891
2,75	3	2,875	2,544762	1,9312634
2,875	3	2,9375	2,664604	2,1499512
2,9375	3	2,96875	2,724951	2,261803
2,96875	3	2,984375	2,75523	2,3183509
2,984375	3	2,992188	2,770395	2,3467796
2,992188	3	2,996094	2,777985	2,3610326
2,996094	3	2,998047	2,781781	2,3681688

Знаходимо корені рівняння методом дотичних:

2	1	0,545726
0,167577	-0,97637	0,100582
9,874719	20,45018	0,927744
-12,1682	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!

Знаходимо корені рівняння методом січних:

2	1
3	2,785579
1,439957	0,169124
1,339118	0,035805
1,312036	0,000949
1,311299	5,76E-06
1,311294	9,42E-10
1,311294	0
1,311294	0

Відповідь: х≈-1.311294

4) x²cos2x=-1; -2pi<=x<=2pi

Знаходимо проміжок, на якому знаходяться корені рівняння:

x	y
-6	31.378743
-5	-19.97679
-4	-1.328001

Знаходимо корені рівняння методом половинного ділення:

a	b	c	y(c)	y(a)
-6	-5	-5.5	1.133877	31.37874
-5.5	-5	-5.25	-12.107	1.133877
-5.5	-5.25	-5.375	-6.0237	1.133877
-5.5	-5.375	-5.4375	-2.55632	1.133877
-5.5	-5.4375	-5.46875	-0.73586	1.133877
-5.5	-5.46875	-5.48438	0.193266	1.133877
-5.48438	-5.46875	-5.47656	-0.27279	0.193266
-5.48438	-5.47656	-5.48047	-0.04013	0.193266
-5.48438	-5.48047	-5.48242	0.076479	0.193266
-5.48242	-5.48047	-5.48145	0.018154	0.076479
-5.48145	-5.48047	-5.48096	-0.01099	0.018154
-5.48145	-5.48096	-5.4812	0.003579	0.018154
-5.4812	-5.48096	-5.48108	-0.00371	0.003579
-5.4812	-5.48108	-5.48114	-6.4E-05	0.003579
-5.4812	-5.48114	-5.48117	0.001758	0.003579
-5.48117	-5.48114	-5.48116	0.000847	0.001758
-5.48116	-5.48114	-5.48115	0.000392	0.000847
-5.48115	-5.48114	-5.48114	0.000164	0.000392
-5.48114	-5.48114	-5.48114	5E-05	0.000164
-5.48114	-5.48114	-5.48114	-6.9E-06	5E-05
-5.48114	-5.48114	-5.48114	2.15E-05	5E-05
-5.48114	-5.48114	-5.48114	7.29E-06	2.15E-05
-5.48114	-5.48114	-5.48114	1.78E-07	7.29E-06
-5.48114	-5.48114	-5.48114	-3.4E-06	1.78E-07

Знаходимо корені рівняння методом дотичних:

x	f(x)	f'(x)
-6	31.37874	-48.7595
-5.35646	-7.00232	-52.1183
-5.49081	0.579505	-60.139
-5.48118	0.00215	-59.6894
-5.48114	3.1E-08	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876
-5.48114	-2.1E-14	-59.6876

Знаходимо корені рівняння методом січних:

x	f(x)
-6	31.37874
-5	-19.9768
-5.38899	-5.26945
-5.52836	2.867633
-5.47924	-0.11315
-5.48111	-0.00195
-5.48114	1.49E-06
-5.48114	-1.9E-11
-5.48114	-2.1E-14
-5.48114	-2.1E-14

Відповідь: х≈-5,4811

Висновок:

В цій роботі я ознайомився з наближеними методами розвязування рівнянь. Метод половинного ділення, метод дотичних, метод січних. Отримав навички роботи в программі Excel.

ЗАМЕЧАНИЯ

1. Название нашего института на титульном листе не соответствует истинному

2. Нет номера варианта;

3. Нет списка уравнений;

4. Рисунок и поясняющая надпись к нему на разных страницах

Но в целом улучшения по сравнению в первой работой заметны сразу и значительны. Еще немного и вы будете писать отчеты как надо.

Работу с незначительными исправлениями можно сдавать.

Сроки жмут!

ОДНАКО, дальнейшая проверка показала, что

Ваша работа и отчет Скрынникова один в один от рисунков до объяснений…

Кто из вас автор или вы оба пытаетесь обмануть проверяющего?

Этого допускать нельзя.

Оба должны переделать свои отчеты

11