Наиболее часто в практических расчетах из этих трех показателей применяется коэффициент вариации.

В нашей задаче необходимо вычислить показатели вариации, характеризующие себестоимость продукции на 10 предприятиях, предварительно ранжировав данные, следовательно

Расчет показателей вариации

Фактические данные					Расчетные показатели
№	Xi	fi	сгруппируем данные		Xi fi	_ Xi – X	_ | Xi – X | fi	_ ( Xi – X )²	_ ( Xi – X )² fi
1	1,3	42771	1,3	42771	111440,7	-0,53	22668,63	0,2809	12014,37
2	1,6	30272
3	1,6	33120	1,6	63392	158267,7	-0,23	14580,16	0,0529	3353,437
4	1,7	31458
5	1,7	53253	1,7	84711	144960,2	-0,13	11012,43	0,0169	1431,616
6	1,8	37632
7	1,8	44149	1,8	81781	142866,3	-0,03	2453,43	0,0009	73,6029
8	1,9	58653	1,9	58653	52992	0,07	4105,71	0,0049	287,3997
9	2,4	36360	2,4	36360	53478,6	0,57	20725,2	0,3249	11813,36
10	2,5	38610	2,5	38610	79468,2	0,67	25868,7	0,4489	17332,03
Итого		406278		406278	743473,7		101414,3		46305,82

Отсюда размах вариации себестоимости продукции на 10 предприятиях составила:

R = X max – X min = 2,5 - 1,3=1,2 рубля

Среднее линейное отклонение себестоимости продукции на 10 предприятиях составила:

среднее линейное отклонение от средней себестоимости составляет ±0,25 рублей, то есть могут наблюдаться отклонения от (1,83-0,25) 1,58 до (1,83+0,25) 2,08 рублей

Вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение

следовательно

среднее квадратическое отклонение от средней себестоимости составляет ±0,34 рублей, то есть могут наблюдаться отклонения от (1,83-0,34) 1,49 до (1,83+0,34) 2,17 рублей

Вычислим коэффициенты вариации себестоимости единицы продукции

Kоэффициент асцилляции:

Линейный коэффициент вариации:

Коэффициент вариации:

Так как линейный коэффициент вариации < 15%, а коэффициент вариации > 15%, то можно говорить об умеренной вариации себестоимости продукции.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются структурные средние: мода и медиана.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности. В данном случае Мо=1,7 (так как 1,7 встречается в совокупности чаще других)

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака расположенных в середине ряда, следовательно Ме=1,8 (так как середина ряда проходит между 203139 и 203140 значениями, а оба этих значения соответствуют 1,8)

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и оценку его симметричности, остро- и плосковершинности – это показатели асимметрии и эксцесса. В практических расчетах в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.

Это дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 – незначительная.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса:

При симметричном распределении Еs=0. Если Еs>0 , распределение является островершинным; если Еs< 0 – плосковершинным.

Для удобства вычислений показателей асимметрии и эксцесса составляется рабочая таблица.

Расчет показателей асимметрии и эксцесса

Фактические данные			Расчетные данные
№	Xi	Fi	__ Xi - X	_ ( Xi – X )³	_ (Xi – X)³ fi	_ (Xi – X)^4	_ (Xi – X)^4 fi
1	1,3	42771	-0,53	-0,14888	-6367,74648	0,07891	3375,05961
2	1,6	63392	-0,23	-0,01216	-770,84672	0,0028	177,4976
3	1,7	84711	-0,13	-0,0022	-186,3642	0,00029	24,56619
4	1,8	81781	-0,03	-0,00003	-2,45343	0	0
5	1,9	58653	0,07	0,00034	19,94202	0,00002	1,17306
6	2,4	36360	0,57	0,18523	6734,9628	0,10558	3838,8888
7	2,5	38610	0,67	0,30081	11614,2741	0,20154	7781,4594
Итого		406278			11041,76809		15198,64466

Рассчитаем показатель асимметрии:

, следовательно ,

так как 0,6915 > 0,5, то асимметрия значительная.

Рассчитаем показатель эксцесса , следовательно отсюда мы имеем плосковершинное распределение.

Задача 4

В приложении № 4 приведены данные о распределении магазинов города по товарообороту во втором квартале 2000 г. По данным интервального вариационного ряда рассчитать следующие показатели:

1. Средний товарооборот.

2. Показатели вариации: среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение.

3. Структурные средние: моду, медиану и квартили.