6. Кратность корня и производная многочлена.

Определение 1. Корень многочлена имеет кратность если и , . Корни кратности 1 называют простыми, остальными кратными.

Для того чтобы узнать, кратен корень или нет, бывает полезным понятие производной многочлена. Если рассматривать многочлен с числовыми коэффициентами как функцию, то это понятие совпадает с обычной производной, определяемой в анализе. Следовательно, все свойства производной сохраняются у производной многочлена.

Теорема 1. Простой корень многочлена не является корнем его производной; кратный корень кратности является корнем производной, и кратность его в производной равна .

Теорема 2. Для того чтобы число было корнем кратности многочлена необходимо и достаточно, чтобы и .

Всякий многочлен можно представить в виде

,

т.е. разложить его по степеням линейного двучлена . Такое разложение однозначно и дается формулой Тейлора

.

ПРИМЕРЫ:

1. Найти кратность корня в многочлене , .

Решение: Для решения задачи воспользуемся схемой Горнера:

									– первый
									– второй
									– третий
									– четвертый

Искомая кратность равна .

2. Найти при каких и многочлен делится на .

Решение: Условие задачи означает, что – является корнем кратности не меньшей , что равносильно утверждению .

Найдем : , значения многочлена и его производной при : , , откуда , .

7. Разложение дробей на простейшие.

Определение 1. Дробно-рациональной функцией называется отношение (частное) пары многочленов и , где . Краткая запись .

Одна и та же дробь может быть представлена в виде частного различных пар многочленов. Если НОД =1, то – несократимая запись. Такая запись существует у каждой дроби и она единственна, если многочлен нормирован.

Определение 2. Дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя.

Определение 3. Комплексная простейшая дробь – это дробь с несократимой записью , где , а .

Определение 4. Вещественная простейшая дробь – это дробь с несократимой записью одного из двух типов: , , где , , .

Теорема 1. Всякая правильная дробь представима в виде суммы простейших комплексных дробей; всякая правильная вещественная дробь представима в виде суммы простейших вещественных дробей.

Один из способов разложения дроби на простейшие дает формула Лагранжа. Эта формула применима к дробям , если не имеет кратных корней и при разложении на вещественные простейшие имеет только вещественные корни. Если , при , то . Значение производной можно вычислять по формуле .

Для дроби формула Лагранжа не применима. В этом случае можно получить требуемое, разложив многочлен по степеням многочлена .

ПРИМЕРЫ:

1. Разложить на простейшие комплексные дроби.

Решение: Заметим, что знаменатель не имеет кратных корней, его корни , , , – корни четвертой степени из ; . По формуле Лагранжа:

2. Разложить на вещественные простейшие дроби.

Решение: У знаменателя все корни просты и вещественны, следовательно, можно применить формулу Лагранжа:

3. Разложить на простейшие вещественные дроби.

Решение: Для решения задачи используем схему Горнера:

4. Разложить на простейшие вещественные дроби.

Решение: Заметим, что дискриминант отрицателен. Введем обозначения: ; . Разделим многочлен на многочлен с остатком:

, т.е. , где , . Теперь разделим на : , т.е. , где , . Таким образом, .

5. Разложить на простейшие комплексные дроби.

Решение: Воспользуемся видом разложения дроби на простейшие:

.

Для нахождения коэффициентов и домножим это равенство на : . При получаем . Теперь продифференцируем полученное уравнение: . При получаем .

Теперь так же находим коэффициенты , , . Домножаем сначала на : . При : . После дифференцирования:

, при : . Еще раз дифференцируем: , : .

Итак, .

6. Разложить на простейшие вещественные дроби.

Решение: Заметим, что в разложении будет единственное слагаемое со знаменателем, имеющим корень . Найдем сначала его:

, домножаем на : и при получаем .

Теперь находим разность

. Разложим числитель по степеням : . Тогда .