Операции над комплексными числами. Умножение комплексных чисел.
Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных чисел и , необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:
(16)
Таким образом, получили также комплексное число. Умножать в явном виде комплексные числа не очень удобно, гораздо проще если привести их к показательной форме и перемножить:
(17)
При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются, а фазы складываются.
Исходя из выражения (12),
умножение комплексного числа на чисто
мнимое число приводит к повороту вектора
на
против часовой стрелки (к фазе
прибавляется
).
При этом из выражения (13) следует что
умножение комплексного числа на
приводит повороту фазы на угол
,
а умножение комплексного числа на
приводит к повороту вектора
на
по часовой стрелке (от фазы
вычитается
).
Это очень важное замечание, так как емкости и индуктивности имеют чисто мнимые сопротивления и служат для поворота вектора комплексного тока или напряжения.
Комплексно-сопряженные числа.
Необходимо сделать еще одно
замечание: числа
и
называются комплексно-сопряженными.
При этом комплексно-сопряженное число
обозначается звездочкой
.
Согласно выражениям (3) и
(7) их модули равны, а фазы равны по модулю,
но имеют противоположные знаки:
.
(18)
Произведение комплексно-сопряженных чисел согласно выражению (16) равно:
(19)
Таким образом, произведение комплексно-сопряженных чисел есть действительное число, равное квадрату модуля этих чисел. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел представлено на рис. 6.
Рис. 6. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел
Из этого представления можно записать комплексно-сопряженные числа в показательной форме:
и
.
(20)
Операции над комплексными числами. Деление комплексных чисел
Последняя операция, которую осталось рассмотреть, – операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:
,
(21)
где
.
Таким образом, при делении
комплексных чисел их модули делятся а
фазы вычитаются. При делении необходимо,
чтобы
.
Рассмотрим, как можно поделить комплексные числа, записанные в алгебраической форме:
.
Умножим числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное со знаменателем:
(22)
Выражение (22) – формула деления комплексных чисел в алгебраической форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в алгебраической форме, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.
Пример 6. Рассчитать выражение, представив результат в алгебраической и показательной форме:
.
Решение.
Последовательно будем преобразовывать комплексные числа из одной формы записи в другую. При этом если производится умножение или деление комплексных чисел, то все числа переводим в показательную форму, а если производится сложение или вычитание чисел, то переводим в алгебраическую форму.
Расчетное задание
1. Записать в алгебраической и показательной формах комплексные амплитуды напряжений и токов, мгновенные значения которых равны:
;
;
;
;
;
.
2. Представить в алгебраической форме комплексные числа:
;
;
;
;
;
;
;
.
3. Перевести в показательную форму записи комплексные числа, представленные в алгебраической форме:
;
;
;
;
;
;
.
4. Вычислить значение комплексного выражения, записав результат в алгебраической и показательной формах:
.
5. Записать комплексные действующие значения напряжения и тока, векторные диаграммы которых имеет вид:
Амплитудные значения:
;
;
;
;
;
.