- •Раздел 14. Элементы математической статистики.
- •§1.Выборка. Обработка результатов.
- •§ 2.Эмпирическая функция распределения.
- •§ 3 Оценки параметров.
- •Оценка для математического ожидания.
- •Оценки для дисперсии.
- •Оценки для среднего квадратического отклонения.
- •Оценки для моментов случайной величины.
- •§4. Методы нахождения оценок.
- •§5. Доверительные интервалы.
- •Доверительный интервал для m при неизвестном σ.
- •§6. Понятие о статистических гипотезах.
Доверительный интервал для m при неизвестном σ.
Имеем два неизвестных m и σ. Можно показать, что в этом случае доверительным интервалом для m будет интервал ( - ; + ), где - выборочное среднее, n – объем выборки, - исправленное среднее квадратическое отклонение. = , t – находится по таблицам значений функции Стьюдента в зависимости от γ и n ( распределение Стьюдента при n →∞ приближается к нормальному). При достаточно больших n (практически при n>20) t можно искать из условия Ф(t) = .
Пример. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х, для которой по выборке объема n = 25 найдены =2,4 и =4, если надежность γ = 0,95. Решение. I способ: t = t(0,95; 25) ≈ 2,064 (по таблицам значений функции Стьюдента). - = 2,4 – ≈ 1,57; + ≈ 3,23 (1,57; 3,23) – доверительный интервал.
II способ: Ф(t) = 0,475 => t ≈ 1,96 => (1,62; 3,18) – доверительный интервал.
Таблица значений функции t = t (γ; n)
γ n |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
5 |
2,78 |
4,60 |
8,61 |
6 |
2,57 |
4,03 |
6,86 |
7 |
2,45 |
3,71 |
5,96 |
8 |
2,37 |
3,50 |
5,41 |
9 |
2,31 |
3,36 |
5,04 |
10 |
2,26 |
3,25 |
4,78 |
11 |
2,23 |
3,17 |
4,59 |
12 |
2,20 |
3,11 |
4,44 |
13 |
2,18 |
3,06 |
4,32 |
14 |
2,16 |
3,01 |
4,22 |
15 |
2,15 |
2,98 |
4,14 |
16 |
2,13 |
2,95 |
4,07 |
17 |
2,12 |
2,92 |
4,02 |
18 |
2,11 |
2,90 |
3,97 |
19 |
2,10 |
2,88 |
3,92 |
20 |
2,093 |
2,361 |
3,883 |
25 |
2,064 |
2,797 |
3,745 |
30 |
2,045 |
2,756 |
3,659 |
35 |
2,032 |
2,720 |
3,600 |
40 |
2,023 |
2,708 |
3,558 |
45 |
2,016 |
2,692 |
3,527 |
50 |
2,009 |
2,679 |
3,502 |
60 |
2,001 |
2,662 |
3,464 |
70 |
1,996 |
2,649 |
3,439 |
80 |
1,001 |
2,640 |
3,418 |
90 |
1,987 |
2,633 |
3,403 |
100 |
1,984 |
2,627 |
3,392 |