Задание 3. Решение уравнения методом последовательных приближений

Суть метода:

1. привести исходное уравнение к виду .

2. В первом приближении принять .

3. Определить значение .

4. Проверить погрешность: . Если условие не выполнилось, переход к п. 5.

5. Определить значение .

6. Проверить погрешность: . Если условие не выполнилось, переход к п. 5.

Метод обладает недостатком: не сходится при .

Порядок выполнения работы:

1. В MS Excel определить диапазон, в котором находится корень (a..b).

2. Привести уравнение к виду .

3. Принять за первое приближение .

4. Алгоритм должен запрашивать у пользователя значение первого приближения, а точность реализовать в виде константы.

5. Алгоритм должен проверять сходимость метода. В случае, если условие сходимости не выполняется, необходимо применить другую функцию .

6. Запрос исходных данных и вывод результатов на экран реализовать в виде процедур.

7. Функцию реализовать в виде функции.

Задание 4. Решение уравнения усовершенствованным методом последовательных приближений

Суть метода:

1. привести исходное уравнение к виду .

2. В первом приближении принять .

3. Определить значение .

4. Проверить погрешность: . Если условие не выполняется, переход к п. 5. Если выполняется, выход из алгоритма, искомый корень .

5. Определить значение , где

;

6. Проверить погрешность: . Если условие не выполнилось, переход к п. 7. Если выполнилось – выход из алгоритма, искомый корень .

7. Выполнить переприсвоение ; . Переход к п. 5.

Порядок выполнения работы:

8. В MS Excel определить диапазон, в котором находится корень (a..b).

9. Привести уравнение к виду .

10. Принять за первое приближение .

11. Алгоритм должен запрашивать у пользователя значение первого приближения, а точность реализовать в виде константы.

12. Запрос исходных данных и вывод результатов на экран реализовать в виде процедур.

13. Функцию реализовать в виде функции.

Задание 5. Решение уравнения методом хорд

Суть метода:

Рисунок 1. Графическая интерпретация метода хорд

Пусть x1,x2 − абсциссы концов хорды, y = kx + b − уравнение прямой, содержащей хорду. Найдем коэффициенты k и b из системы уравнений:

.

Вычтем из первого уравнения второе:

f(x₁) − f(x₂) = k(x₁ − x₂), затем найдем коэффициенты k и b:

, тогда

.

Уравнение принимает вид:

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом хорд:

Теперь возьмем координаты x₂ и x₃ и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Повторять операцию следует до тех пор, пока не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Итерационная формула метода хорд:

Задание 6. Решение уравнения методом касательных (метод Ньютона)

Рисунок 2. Графическая интерпретация метода касательных

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность. Общий вид искомого корня сводится к виду: .

Недостатки метода:

1. если начальное приближение недостаточно близко к искомому корню, метод может не сойтись;

2. если производная не непрерывна в точке корня, метод расходится в любой окрестности корня;

3. если в точке корня не существует вторая производная, сходимость метода может заметно снизиться;

4. если производная в точке корня равна 0, метод может преждевременно прекратить поиск с неверно найденным значением искомого корня.

Порядок выполнения:

1. В первом приближении принять .

2. Вычислить значение .

3. Проверить погрешность: . Если условие не выполняется, переход к п. 5. Если выполняется, выход из алгоритма, искомый корень .

4. Определить значение , где .

5. Выполняется проверка . Если проверка прошла, искомый корень . Если не прошла, выполняется переприсвоение , затем переход к п. 3.

6. Выполнить переприсвоение ; Переход к п. 3.

Функция реализовать в виде функции. Весь алгоритм реализовать в виде процедуры.