7. (Соответствия и их свойства. Основные определения)
Соответствие между множествами А и В называется подмножество G прямого произведения этих множеств: G подмножество А × В. Если (a, b) принадлежит G, то говорят, что b соответствует а при соответствии G.
Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Свойства соответствий: Всюдоопределенное - значит для каждого элемента из первого множества есть элемент из второго
который соответсвует элементу из первого
сюрьективное соответсвие - это когда для каждого элемента из второго множества существует хотя бы один прообраз из первого множества
функциональное - это когда для каждого элемента из первого множества существует неболее одного образа во втором множестве
однозначное - это когда для любого элемента из первого множества существует ТОЛЬКО ОДИН образ во втором множестве
обратное - это значит, что если поменять множества местами, т.е. первое поставить вместо второе, а второе вместо первого будет выполнятся условие функциональности...
если функциональность будет выполняться значит соответсвие обратное
взаимнооднозначное соответсвие - это значит, что все выше перечисленные свойства выполняются
8. (Функциональное соответствие. Функции и отображения)
Функциональным соответствием f на множестве X x Y называют бинарное отношение f ⊆ X x Y, в котором каждый элемент множества X имеет единственный образ во множестве Y.
Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет вид A -> B (обозначение f: A -> B). Каждому элементу a из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это записывается в традиционной форме f(a)=b. Элемент a называется аргументом функции, элемент b – её значением.
Отображением А в В называется всюду определённая функция f: A -> B. Отображением А на В называется всюду определённое и при этом сюръективное функциональное соответствие f: A -> B.
Отображение типа A ->A называется преобразованием множества A.
9. (Унарные и бинарные операции. Свойства бинарных операций)
Операцией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случае n-местная функция типа φ: М × М × ... × М -> М (иное обозначение φ: Мn -> М) называется п-арной операцией на множестве М. В таких случаях говорят, что множество М замкнуто относительно операции φ (результат выполнения операции φ на М принадлежит М). В частности:
Функция одного аргумента φ (х) = у, имеющая тип φ: М -> М, называется унарной операцией.
Примеры унарных операций:
элементарные функции еx, log x, sin x и др.
операция над множествами - дополнение Ā;
отображения типа А -> А, такие как преобразования, перестановки;
Функция двух аргументов φ (х, у) = z, имеющая тип φ: М × М -> М, называется бинарной операцией.
Примеры бинарных операций:
арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень;
операции над множествами: пересечение ᴖ, объединение ᴗ и, разность \;
операция композиции функций, отображений, отношений и др. Если над элементами a,b ∈ М выполняется операция φ, дающая результат z ∈ М, то это записывается часто как а φ b = z.
Свойства бинарных операций:
1) φ - ассоциативна, если для любых а,b,с из М
(а φ b) φ с = а φ (b φ с)
(арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений - ассоциативные операции).
Выполнение этого условия (свойства ассоциативности) означает, что скобки в выражении a φ b φ с можно не расставлять;
2) φ - коммутативна, если для любых а, b, с
a φ b = b φ a
(арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств - коммутативные операции; арифметические операции вычитания и деления, операция разности множеств, композиция перестановок и преобразований типа А -> А конечного множества - некоммутативны);
3) φ - дистрибутивна слева относительно операции ψ, если для любых а, b, с
а φ (b ψ с) = (а φ b) ψ (а φ с)
и φ дистрибутивна справа относительно операции ψ, если для любых а, b, с
(а ψ b) φ с = (а φ с) ψ (b φ с)
(арифметические операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычитания слева и справа, но не наоборот: операции сложения и вычитания недистрибутивны относительно операции умножения и деления; операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа).