Элементарные методы

Для самых элементарных функций, таких, как степенная функция и экспонента, аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется с множества весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет внутренних точек.

Для более сложных случаев применяются более искусственные приемы. Например, рассмотрим некоторый сходящийся в круге ряд Тейлора, где  — радиус сходимости этого ряда. Согласно одному из эквивалентных определений, таким образом получена аналитическая в круге функция . Что это значит? Это не значит, что в любой точке за пределами полученная функция уже не будет аналитической, это в данный момент неизвестно, это просто значит, что существует точка такая, что ряд в этой точке расходится. Однако можно выбрать некоторую точку  — так как в этой точке функция аналитична, то её можно разложить в ряд, сходящийся в некотором круге . Если для нового радиуса сходимости выполнено соотношение , то уже будут существовать точки, принадлежащие , но не принадлежащие , а из этого в силу теоремы единственности будет следовать, что функция, определенная изначально только в , продолжена на некоторое большее множество, а именно на . В случае, если такое невозможно, то окружность будет естественной границей аналитического продолжения. Дальнейшее развитие этого метода приведет нас к основополагающему понятию ростка.

Далее, для многих специальных функций аналитическое продолжение осуществляется с помощью некоторого функционального уравнения. Берется некоторая область, в которой решение этого уравнения заведомо аналитично, и осуществляется перенос результатов на большую область. В основном таким способом строятся продолжения специальных функций вещественного анализа — например, гамма-функции и дзета-функции Римана.

Построение аналитического продолжения

Приведенные выше построения являются интуитивно понятными — это их сила и это их слабость. Элементарная теория оправдывает себя лишь в случае взаимно однозначных отображений, образующих малый подкласс аналитических функций. Строгое построение требует введения массы дополнительных понятий.

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей

Теперь мы будем отталкиваться уже не от понятия аналитической функции, а от более чёткого определения аналитического элемента.

Элементы и называются аналитическим продолжением друг друга через цепочку областей , если существует последовательность элементов и выполняются следующие три условия:

1. ;

2. Для произвольных последовательных областей из цепочки их пересечение непусто и  — определенная его связная компонента;

3. Элемент является аналитическим продолжением через множество .

Мы снова вернулись к понятию ростка. Действительно, теперь росток можно рассматривать как аналитический элемент, состоящий из круга сходимости и собственно аналитической функции — суммы ряда. Такого вида элементы будут использоваться далее, они имеют собственное название — канонические элементы и обозначения, заимствованные от аналитических элементов, а не от ростков. Обозначаться канонические элементы будут в виде , где  — круг сходимости ряда, а  — его сумма. Центром канонического элемента называется центр круга сходимости определяющего его ряда.