- •Кафедра систем автоматического управления курсовая работа
- •Задание 1. Для данной числовой матрицы
- •1.1 Построить нормальную жорданову форму заданной числовой матрицы.
- •Таким образом, получаем окончательно (6) Проверка дает и
- •1.4 Построить экспоненциал матрицы а (с параметром (t-t0)) по формуле (15)
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет “ЛЭТИ”
Кафедра систем автоматического управления курсовая работа
по дисциплине
Математические основы теории систем
(4-й семестр)
Лектор: д.т.н. проф. Путов В.В.
Консультант: асп. Гайдым Д.А.
Выполнил: студент группы 7323
подпись Ф.И.О.
Проверил Гайдым Д.А.
с оценкой
Санкт-Петербург. 1999 г.
Задание 1. Для данной числовой матрицы
А= (1) с помощью элементарных операций привести её характеристическую матрицу (Е-А) к каноническому диагональному виду, определить элементарные делители и построить нормальную жорданову форму J. Рассчитать матрицу преобразования Т и вычислить экспоненциалы матриц F и J с параметром (t-t0).
1.1 Построить нормальную жорданову форму заданной числовой матрицы.
Для этого введем следующие символические обозначения для левых (S) и правых (T) элементарных операций и соответствующих им матриц
SI={(c) i}; SII={i+(b()) j}; SIII={ij}; TI=[(c) i] TII=[i+b()) j], TIII=[ij],
где SI( TI) - первая левая (правая) элементарная операция умножения i-ой строки (i-го столбца) на число C0; SII( TII) - вторая левая (правая) элементарная операция прибавления к i-ой строке ( i-ому столбцу) другой j-ой строки ( j-го столбца), предварительно умноженной ( умноженного) на произвольный многочлен b(); SII( TII) - третья левая ( правая) элементарная операция перестановки местами i-ой строки ( i-го столбцу) и j-ой строки ( j-го столбца).
Характеристическая -матрица имеет вид Е -А =.
Следуя методике диагонализации -матрицы, описанной в теореме о существовании канонической диагональной формы -матрицы, выполним последовательно над матрицей (1) следующие элементарные операции:
(2)
пронумерованные цифрами 1, ... ,12, стоящими над обозначениями операций.
Легко проверить ,что с помощью этих элементарных операций матрица (1) приводится к канонической диагональной форме:
где над стрелками указаны порядковые номера элементарных операций.
Из канонического диагонального вида характеристической матрицы (1) видно, что эта матрица имеет инвариантные множители вида:
где - минимальный многочлен матрицы А. Следовательно, имеется два элементарных делителя (-2) и (-4)2. Поэтому исходная матрица А вида (1) имеет следующую жорданову форму J=.
1.2. Построить невырожденную матрицу Т преобразования подобия методом прямого решения матричного уравнения.
Преобразование подобия имеет вид , где Т - числовая невырожденная матрица. Непосредственно решаем матричное уравнение
АТ - ТJ=0. (3)
Уравнение (3) имеет множество решений Т, поэтому нужно наложить дополнительное условие det T 0.
Обозначая элементы матрицы Т=, раскроем матричное уравнение (3) =. (3’)
Выполняя действия над матрицами, запишем 9 скалярных уравнений:
(4)
Из 4-го уравнения системы (4) будет х1=0; Из 8-го и 9-го уравнения х8 = 0, х9 = 0.
Получили матрицу Т=.
Из 7-го уравнения системы (4) х7 можно принять любым, но из условия det T 0 элемент х7 не может быть равен нулю, поэтому примем х7=1, тогда х4 = - х7 = -1.
Получили
Оставшиеся уравнения системы (4) -x + x5 = 2x5 x2 + x5 = 0 ; 2( x3 + x6) = x2
решаем с дополнительным условием, чтобы
Пусть x3 = 0, тогда x6 = 1, и пусть x2 = 2, тогда x5 = -2.
Окончательно получим
det T = 2 0 (5)
Для проверки подставим матрицу (5) в уравнение (3). Получим
Проверили, что матрица Т удовлетворяет уравнению (3) и, следовательно, рассчитана правильно.
Вычислим матрицу Т-1 по формуле Т-1 = ,где Т* - присоединенная матрица к матрице Т, т.е. матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы Т и транспонированная. Пусть Т = {tij}, i,j = 1,2,3. Алгебраическим дополнением для tij будет Aij = (-1)i+jMij, где Mij - ij-й минор матрицы Т есть определитель числовой матрицы, составленной из оставшихся элементов матрицы Т после вычеркивания ее i -ой строки и j -го столбца.
Вычисляя, получим