3. Исследование производственных функций

Цель работы – ознакомление с основными положениями о производственных функциях и наиболее важных их характеристиках, выполнение полученного задания на компьютере и анализ результатов.

3.1.Теоретическая часть

Одним из направлений экономико-математического анализа зависимостей в сфере производства является построение и исследование производственных функций. Результат процесса производства (в частности, объем созданных материальных благ) складывается под влиянием многочисленных и разнообразных факторов. Цель построения производственных функций состоит в том, чтобы количественно оценить характер и степень влияния данных факторов на результат производства.

Производственная функция – это экономико-математическая модель, которая отражает зависимость результатов деятельности производственных объектов (выпуска продукции) от обусловивших эти результаты факторов (ресурсов). Поскольку количественная связь между затратами и результатами производства носит статистический характер, производственная функция представляет собой регрессионную модель.

Производственные функции могут быть построены для различных производственных единиц: отдельного участка, предприятия, группы предприятий (производственного объединения), отрасли, народного хозяйства в целом. Степень агрегирования данных также может быть различной – от детальной номенклатуры до максимально обобщенных показателей.

Многофакторные производственные функции позволяют измерить характер и силу совместного влияния нескольких факторных показателей на величину изучаемого результативного показателя производственной деятельности. Уравнение многофакторной производственной функции имеет общий вид:

y = f (x₁, ... , x_n), (1)

где y – результативный показатель (общий объем в стоимостном исчислении чистого, конечного или совокупного продукта);

x₁, ..., x_n – факторные показатели (затраты труда и средств производства, природные ресурсы и т.п.).

Если в качестве независимых переменных выступают величины затрат x_i, то производственную функцию принято называть функцией выпуска, если же фиксирована величина выпуска, то производственная функция является функцией затрат.

Широко распространены мультипликативные формы производственных функций, которые допускают достаточно гибкое моделирование производственных процессов. В общем виде эти функции записываются так:

_m

y = a₀ П x_i^ai , (2)

ⁱ⁼¹

где a₀ и a_i – параметры (постоянные величины, константы) производственной функции.

К классу производственных функций относится широко используемая двухфакторная зависимость вида:

y = f (L, K), (3)

где L – затраты труда,

K – капитальные ресурсы, включающие основные и (не всегда) оборотные фонды производственного объекта.

Величина L измеряется в натуральном (например, в человеко-часах, днях, месяцах или в количестве среднегодовых работников) или в стоимостном выражении, а величина К – в стоимостном выражении.

Одной из первых практических работ в области изучения производственных функций было исследование, проведенное Ч. Коббом и П. Дугласом по данным обрабатывающих отраслей промышленности США за 1899–1922 гг. В этом исследовании была применена следующая форма производственной функции:

y = a₀L^a1 K^a2. (4)

Данная функция и ее различные модификации получили широкое распространение для решения ряда технико-экономических задач. Производственную функцию (4) и формально аналогичные ей уравнения часто называют функцией Кобба-Дугласа. Конкретные числовые значения параметров a0, a1, a2 функции (4) определяются на основе статистических данных за ряд предшествующих лет с помощью методов корреляционно-регрессионного анализа.

Экономико-математическое исследование производственных функций позволяет получить ряд показателей (характеристик), связанных с содержанием и формой функции и дающих широкие возможности для анализа и выводов о характере изучаемой зависимости. Рассмотрим эти зависимости на примере функции Кобба-Дугласа.

Эффективность (производительность) трудовых ресурсов можно оценить как отношение произведенного продукта к совокупным затратам труда. Разделив обе части уравнения (4) на L, получим:

h_L = y / L = a₀L^a1-1K^a2 (5)

Это выражение показывает среднее количество продукции, приходящееся на единицу затрат труда, т.е. характеризует среднюю производительность труда. Уравнение (5) можно представить в следующем виде:

h_L = a₀( K / L)^a2 L^a1+a2-1 (6)

Отношение K / L – это показатель фондовооруженности труда, а в целом уравнение (6) показывает, как растет производительность труда с ростом его фондовооруженности.

Аналогично можно анализировать отдачу другого ресурса – производственных фондов. Средняя фондоотдача определяется из выражения:

h_K = y / K = a₀ L^a1 K^a2-1 (7)

Уравнение (7) показывает, что средняя фондоотдача увеличивается с увеличением ресурсов труда (при неизменных фондах) и уменьшается с увеличением самих фондов (при неизменных трудовых ресурсах).

В анализе производственных функций наряду со средним показателем существенную роль играют предельные величины. Так, производительность (эффективность) труда показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда. Уравнение предельной производительности труда для функции (4) есть частная производная выпуска продукции по затратам труда, т.е.:

g_L= dy /dL = a₀ a₁ L^a1-1K^a2 (8)

Из выражения (8) следует, что с увеличением затрат труда при неизменных фондах предельная производительность труда снижается. С увеличением фондов при неизменных трудовых ресурсах (т.е. с ростом фондовооруженности труда) предельная производительность труда возрастает.

Показатель предельной фондоотдачи определяется как частная производная выпуска продукции по объему фондов:

g_K= dy/dK = a₀ a₂ L^a1 K^a2-1 (9)

Предельная производительность труда и фондоотдача в формулах (8)– (9) – это величины размерные, их значения зависят от принятых единиц измерения y, L и K. В связи с этим представляет интерес определение показателей, характеризующих относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурсов.

В функции Кобба-Дугласа такими показателями выступают параметры a1 и a2. Так, величина коэффициента a1 показывает насколько процентов возрастает продукт y при увеличении затрат труда L на 1% и неизменном объеме фондов K.

Аналогично коэффициент a2 характеризует величину относительной предельной фондоотдачи, т.е. показывает, что при увеличении объема производственных фондов на 1% продукт возрастает на a2%. Эти относительные показатели называют коэффициентами выпуска по затратам ресурсов. Данная производственная функция характеризуется постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменению ресурса.

Если a2>a1, т.е. эластичность выпуска по фондам выше, чем по трудовым ресурсам, то производственный процесс считают фондоинтенсивным, в противном случае – трудоинтенсивным.

Отметим, что в соответствии со своим экономическим содержанием величины коэффициентов эластичности выпуска по затратам в функции (4) находятся в промежутке от 0 до +1. Действительно, если бы, например, коэффициент a1 был отрицательным, то это означало бы, что с увеличением трудовых затрат объем продукции абсолютно снижается. Нереально и допущение, что коэффициент a2 равен или больше единицы: это означало бы, что увеличение только трудовых ресурсов, скажем, в два раза при неизменном количестве остальных производственных ресурсов обеспечивает прирост продукции в два раза (если a1 = 1) или даже более чем в два раза (если a1>1). Аналогичные соображения относятся и к коэффициенту a2 рассматриваемой функции.

Важной характеристикой производственной функции вида (4) является также сумма коэффициентов эластичности выпуска по затратам, т.е., величина А = a1 + a2. Она показывает эффект одновременного пропорционального увеличения обоих производственных ресурсов. Если А = 1, то увеличение обоих ресурсов в m раз приводит к росту объема производства также в m раз. Экономически это соответствует предположению, что, например, увеличение числа предприятий какой-либо отрасли в два раза приводит к удвоению выпускаемой отраслью продукции. Нередко условие А = 1 ставится заранее при исчислении параметров производственной функции.

Если такое ограничение не предусмотрено, величина А может оказаться больше или меньше единицы. В первом случае имеем зависимость, при которой увеличение ресурсов в m раз приводит к росту продукции более чем в m раз. Экономически это свидетельствует о положительном эффекте расширения масштабов производства. Если А < 1, то увеличение ресурсов в m раз приводит к возрастанию продукта менее, чем в m раз. В этом случае имеет место отрицательный сопутствующий результат расширения масштабов производства.

Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут в известном смысле замещать друг друга. Это означает, что единицу одного ресурса можно было бы заменить некоторым количеством другого ресурса так, что выпуск при этом не изменится. Скажем, при определенной структуре производства добавление одного человека-часа труда (или, например, повышение на три рубля затрат труда) дает такой же прирост продукции, как и увеличение на два рубля производственных фондов. На основе производственной функции можно рассчитать предельную норму замещения ресурсов. Так, предельная норма замещения затрат труда производственными фондами для функции вида (4) равна:

S_KL = - (a₁K) / (a₂L) (10)

Знак минус в выражении (10) означает, что при фиксированном объеме производства увеличение одного ресурса соответствует уменьшению другого и наоборот.

Из вышеприведенной формулы следует, что предельная норма замещения ресурсов для функции Кобба-Дугласа зависит не только от ее параметров (коэффициентов a₁ и a₂), но и от соотношения объемов ресурсов. Чем выше фондовооруженность труда, тем выше и норма замещения затрат живого труда производственными фондами (замещение единицы трудовых ресурсов требует все большего объема фондов). Из формулы (10) очевидно, что, если фондовооруженность труда возрастает, например, в 1,5 раза, то в 1,5 раза увеличится и норма замещения ресурсов.

Это обстоятельство находит свое выражение в особом показателе, который называется эластичностью замещения ресурсов и определяется в данном случае как отношение относительных приращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения. Для функции Кобба-Дугласа эластичность замещения есть величина постоянная, равная единице. В исследованиях применяют также функции с постоянной, но не равной единице, или с переменной эластичностью замещения.

Геометрическое место точек в системе координат ресурсов К и L, для которых выпуск продукции y = f(K,L) постоянен, называется изоквантой. Изокванта показывает, как изменяется сочетание ресурсов, необходимых для получения некоторого фиксированного объема продукции.

Для построения изоквант можно пользоваться одним из следующих уравнений:

L = (y /( a₀ K^a2 ))^(1/a1) (11)

K = (y /( a₀ L^a1 )) ^(1/a2) (12)

Производственная функция указывает на наличие многих альтернативных возможностей (способов производства), при которых различные сочетания между факторами производства обеспечивают один и тот же объем выпускаемой продукции. Это обстоятельство имеет важное значение для предприятий, поскольку они ищут такие соотношения, при которых их издержки производства оказываются минимальными. Наименьшие затраты производства при выпуске данного количества продукции будут достигнуты в том случае, когда значения предельной производительности различных ресурсов станут равными. Для функции Кобба-Дугласа минимальные затраты будут при способе производства, который обеспечивает следующее сочетание ресурсов:

K_опт = (a₂ / a₁) L_опт · C (13)