2.3 Індивідуальні завдання
З генеральної сукупності отримана вибірка з 15 об’єктів.
Варіанти завдань для лабораторної роботи.
1. х: 2, 4, 3, 7, 5, 2, 5, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 7, 7.
2. х: 21, 34, 35, 24, 26, 26, 34, 29, 33, 29, 23, 34, 26, 26, 22.
3. x: 112, 125, 135,110,124,125,130,123,134, 125, 124, 131, 140, 111,132.
4. х: 3, 3, 6, 9, 5, 7, 5, 7, 8, 3, 5, 7, 8, 6, 7.
5. х: 44, 54, 34, 43, 45, 56, 67, 23, 43, 56, 43, 54, 56, 56, 56.
6. х: 245, 246, 245, 241,244,250,246,231,246, 241, 242, 246, 244, 246,252
7. x: 1, 3, 2, 4, 8, 2, 7, 7, 4, 6, 4, 4, 6, 4, 3.
8. х: 33, 34, 32, 33, 33, 32, 35, 34, 36, 31, 33, 32, 34, 32, 36.
9. х: 546, 536, 556, 536, 576,566, 576, 546, 556,546,536,536,576,516,566.
10. х: 15, 11, 23, 45, 44, 23, 15, 22, 45, 33, 15, 22, 23, 30, 11.
11. х: 4, 4, 7, 7, 5, 8, 5, 5, 9, 8, 3, 4, 9, 8, 8.
12. x: 11, 24, 25, 34, 16, 16, 24, 39, 23, 19, 13, 24, 16, 16, 12.
13. х: 412, 425, 435, 410, 424, 425,430, 423,434,425,424,431,440,411,432.
14. х: 2, 4, 5, 9, 5, 6, 5, 4, 8, 3, 5, 7, 5, 6, 7.
15. х: 66, 54, 64, 73, 54, 66, 66, 73, 77, 66, 43, 54, 57, 66, 64.
16. x: 145,146,145,141,144,150,146,131, 146,141, 142, 146, 144, 146, 152.
17. х: 2, 6, 6, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 6, 5, 5, 6, 4, 9.
18. x: 13, 14, 12, 13, 13, 12, 15, 14, 16, 11, 13, 12, 14, 12, 16.
19. х: 246, 236, 256, 236, 276,266, 276,246,256,246,236,236,276, 216,266.
20. х: 25, 10, 20, 25, 30, 35, 15, 25, 30, 25, 15, 25, 30, 30, 40.
21. х: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 8, 7, 7, 9, 8, 8.
22. х: 51, 54, 55, 54, 56, 56, 54, 59, 53, 59, 53, 54, 56, 56, 52.
23. х: 212,225,235,210,224,225,230, 223,234, 225, 224, 231, 240, 211,232.
24. х: 3, 3, 3, 1, 2, 3, 6, 4, 2, 3, 5, 3, 4, 2, 3.
25. х: 96, 74, 84, 84, 74, 96, 74, 84, 74, 84, 96, 74, 74, 84, 84.
26. х: 245,246,245,243,244,245,246, 245, 246,241, 242, 246, 244, 246,243.
27. х: 2, 4, 6, 8, 8, 8, 2, 4, 8, 6, 6, 8, 6, 4, 8.
28. x: 15, 17, 17, 19, 21, 23, 19, 19, 19, 19, 15, 17, 21, 21, 19.
29. х: 740,750,730,720,760,760,740,730, 740, 750, 740, 750, 760, 730,740.
30. х: 1, 2, 8, 6, 2, 6, 8, 8, 1, 2, 2, 6, 8, 8, 6.
3 Лабораторна робота № 3 Побудова довірчих інтервалів для параметрів нормального розподілу
3.1 Постановка завдання
1. Згенерувати вибірку нормально розподіленої випадкової величини з математичним сподіванням рівним номеру варіанту та стандартним відхиленням рівним половині номеру варіанту.
2. Побудувати довірчі інтервали для рівнів значущості α = 0,01 і α = 0,05 (двосторонні, ліво- та правосторонні):
а) для математичного сподівання з відомою та невідомою дисперсією (двосторонні, ліво- та правосторонні);
б) для дисперсії з відомим та невідомим математичним сподіванням (двосторонні, ліво- та правосторонні).
3.2 Теоретичні відомості
Оскільки вибірка із генеральної сукупності має випадковий характер, то для різних вибірок оцінка параметру може приймати різне значення. Тому для точкової оцінки знаходять границі похибки. Це особливо актуально для вибірок малого об’єму, де помилка оцінок збільшується. Для визначення точності та надійності оцінки параметрів вводяться інтервальні оцінки та довірчі інтервали.
Задача інтервального оцінювання полягає в побудові такого інтервалу по даній виборці, щоб із заданою ймовірністю можна було б стверджувати, що значення параметра, який оцінюється, належить деякому інтервалу.
Довірчим інтервалом (θ1, θ2) для параметра θ називається такий інтервал, для якого відомо, що з заданою ймовірністю р = 1 ‑ α йому належить параметр, який оцінюється. Число 1 - α називається рівнем довіри, α - називається рівнем значущості. Нижня θ1 та верхня θ2 границі довірчого інтервалу не залежать від параметра θ і визначаються по результатам спостережень. Таким чином, вони є випадковими величинами. У зв’язку з цим довірчий інтервал накриває параметр, що оцінюється, з ймовірністю 1 - α, або у 100·(1- α)% випадках.
1. Побудова довірчого інтервалу для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини з відомою дисперсією.
довірчий
інтервал,
-
гранична
похибка.
Аналогічно будуються лівосторонні та правосторонні інтервали:
лівосторонній:
правосторонній:
.
2. Побудова довірчого інтервалу для математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини з невідомою дисперсією.
Формується
статистика T
з розподілом Стьюдента з n-1
ступенями свободи. Замість дисперсії
використовується її оцінка
:
~
,
,
.
Аналогічно будуються ліво- та правосторонні інтервали:
лівосторонній:
,
правосторонній:
.
3. Побудова довірчого інтервалу для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини з відомим математичним сподіванням.
Найкращою оцінкою дисперсії при відомому математичному сподіванні є:
.
Величина
не змінюється при зміні початку відліку,
але залежить від одиниць вимірювання.
Щоб позбавитися від цієї залежності
необхідно
пронормувати - поділити на масштабний
множник:
.
Незалежні
випадкові величини
~
.
Сума квадратів незалежних стандартних
нормальних випадкових величин розподілена
за законом
з n
ступенями свободи. Скористуємося
квантилями
і
та отримаємо довірчий інтервал для 
:
,
.
Лівосторонній:
.
Правосторонній:
.
4. Побудова довірчого інтервалу для дисперсії нормально розподіленої випадкової величини з невідомим математичним сподіванням.
В
цьому випадку найкраща оцінка дисперсії
є
.
Пронормуємо
її:
.
Аналогічно отримаємо:
двосторонній
довірчий інтервал:
;
лівосторонній:
;
правосторонній:
.