Из первого уравнения следует

(7.3)

Из второго уравнения (7.2), пренебрегая членом , как величиной второго порядка малости, найдём

(7.4)

Таким образом, распределённая поперечная нагрузка является первой производной по координате z от поперечной силы, взятой с обратным знаком. В свою очередь, поперечная сила представляет собой первую производную по той же координате от изгибающего момента. Объединяя выражения (7.3) и (7.4), получим

,

т.е. интенсивность распределённой поперечной нагрузки с точностью до знака равна второй производной от изгибающего момента по продольной координате.

Если на участке балки, где выделен элемент, действует погонная моментная нагрузка интенсивностью m (рис. 7.7),

Рис. 7.7

Дифференциальная зависимость (7.4) изменится и примет следующий вид

(7.6)

Выражение (7.3) останется справедливым и в этом случае.

Отметим, что знак минус в выражениях (7.3), (7.5) связан с выбором направления координаты y. Он исчезнет, если направить ось вверх и считать это направление положительным для вертикальной нагрузки.

Полученные дифференциальные зависимости позволяют по виду нагрузки судить о характере изменения внутренних усилий, что существенно упрощает построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ В БАЛКАХ

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представляют собой графическое изображение функций Q_y(z) и M_x(z) по всей длине балки. Эпюры необходимы для нахождения опасных сечений, а также при определении перемещений в балках. Они строятся по вычисленным значениям внутренних усилий в характерных сечениях – местах приложения нагрузки, установки опор и т.п. При этом положительные значения поперечной силы откладываются вверх от оси, а положительные значения моментов – вниз, т.е. эпюры изгибающих моментов строятся со стороны растянутых волокон балок.

На основании найденных дифференциальных зависимостей можно сформулировать ряд правил, которыми пользуются при построении эпюр.

1. На участке балки, где нет распределённой нагрузки, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент имеет линейную зависимость.

2. На участке с равномерно распределённой поперечной нагрузкой (q = const) поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент имеет квадратичную зависимость от координаты z, выпуклостью в направлении нагрузки q.

3. Если эпюра поперечной силы пересекает ось, т.е. на участке есть сечение, в котором Q_y = 0, то момент в этом сечении имеет экстремальное значение

M_x = M_max.

4. На участке, где распределённая нагрузка меняется по линейному закону, поперечная сила имеет квадратичную, а момент – кубическую зависимость от координаты z.

5. В сечении, где приложена сосредоточенная внешняя сила, на эпюре Q_y будет скачок на величину этой силы, а эпюра моментов будет иметь излом, поскольку производная M_x = Q_y слева и справа от сечения имеет различные значения.

6. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, на эпюре М_x будет скачок, равный приложенному моменту, на эпюре Q_y изменений не будет. Справедливо и обратное утверждение – в сечениях, где нет внешних сосредоточенных моментов, появление скачков на эпюре M_x невозможно.

Р

Рис. 7.8

ассмотрим несколько примеров, которые помогут освоить технику построения эпюр внутренних усилий в балках.

Пример 7.1 Построить эпюры Q_y и M_x для свободно опёртой балки с равномерно распределённой нагрузкой q (рис.7.8,а).

Решение. Для нахождения опорных реакций воспользуемся уравнением равновесия

m_A = 0:

.

Ввиду симметрии .

Запишем выражение поперечной силы в сечении z, учитывая принятое правило знаков:

0 ≤ z ≤ l,

.

Полученная зависимость Q_y от координаты z линейна, следовательно, эпюра представляет собой прямую линию, которую можно построить по значениям в двух точках:

z = 0: , z = l: .

По этим значения построена эпюра Q_y показанная на рис. 7.8,б. Как мы видим, в середине пролёта (z = l/2) поперечная сила равна нулю, следовательно, изгибающий момент M_x в этом сечении экстремален. Выражение M_x в произвольном сечении z имеет следующий вид

Момент имеет квадратичную зависимость от продольной координаты, его эпюра, показанная на рис. 7.8,в представляет собой квадратную параболу. Момент равен нулю на концах балки ( z = 0; z = l ), в середине пролёта его значение достигает максимума

.

Построение эпюры вполне соответствует дифференциальным зависимостям (7.3) – (7.5), из которых следует, что при постоянной нагрузке q эпюра Q_y должна быть прямой линией с постоянным наклоном на всём участке 0 ≤ z ≤ l , эпюра M_x должна иметь вид квадратной параболы. Поскольку сосредоточенными моментами балка не нагружена, эпюра M_x не имеет скачков; её максимум расположен в сечении, где Q_y = 0.