2. Моделирование динамической системы Дуффинга с внешним воздействием

Движение любой механической системы, например, машины, гироскопического устройства, самолёта, снаряда, зависит от действующих сил и начальных условий, т. е. от положений и скоростей точек системы в момент начала движения. Зная действующие силы и начальные условия, можно теоретически рассчитать, как будет двигаться система – это движение называется невозмущённым. Но на практике истинные значения начальных условий обычно несколько отличаются от расчётных. Кроме того, механическая система может во время движения подвергнуться незначительным случайным воздействиям, не учтённым при расчёте, что тоже эквивалентно изменению начальных условий. Возникающие по разным причинам отклонения начальных условий от их расчётных значений называются начальными возмущениями, а движение, которое система совершает при наличии этих возмущений,– возмущённым движением.

Если при достаточно малых начальных возмущениях характер движения во всё последующее время мало отличается от своего значения в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой характеристике называется устойчивым. Если же при сколь угодно малых, но не равных нулю начальных возмущениях данная характеристика со временем будет всё более и более отличаться от своего значения в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой характеристике наз. неустойчивым.

Н аглядным примером, демонстрирующим указанные понятия, является простейшая динамическая система: тяжёлый шарик на неровной поверхности. В т. 1 потенциальная энергия шарика имеет максимум, и это положение равновесия неустойчиво: под действием малых возмущений шарик скатывается в более низкую точку (2 или 3), где его потенциальная энергия имеет минимум. Если пренебречь трением, то шарик будет в течение бесконечного времени совершать колебания вблизи положения устойчивого равновесия (точек 2 и 3). Если шарик начнёт скатываться с точки, более низкой, чем точка 1, то амплитуда колебаний будет меньшей. Однако близким начальными данным будут отвечать траектории с близкими периодами и амплитудами. В том случае, когда трение не мало, скорость шарика будет убывать, и он остановится в точке устойчивого равновесия. Это состояние устойчиво асимптотически, в фазовом пространстве является притягивающим множеством, или аттрактором.

Рассмотрим систему Дуффинга, описывающую процессы в нелинейных резонаторах с внешним воздействием, например, в лазерных резонаторах.

Дифференциальное уравнение Дуффинга второго порядка имеет дополнительный кубический член в левой части, а правая часть представляет внешнее косинусоидальное воздействие:

Примерами физических явлений, которые описываются таким уравнением, могут служить вынужденные колебания массы, установленной на пружине, подвеска автомобиля, качание математического маятника при больших углах отклонения.

Форма колебаний такой системы довольно сложна из-за наложения внутренних колебаний на внешние, причем частоты колебаний сильно различаются. В результате может наступать автосинхронизация колебаний, но из-за нелинейности системы и изменения амплитуды собственных колебаний может наблюдаться срыв синхронизации, сопровождаемый скачкообразными и довольно хаотическими изменениями параметров системы.

Задание:

1. задать уравнение Дуффинга;

2. определить параметры уравнения: , , ,

3. разбить исходное уравнение на 2 уравнения:

4. решить уравнение с помощью функции rkfixed. Например:

5. построить фазовый портрет системы (рис. 1.5). Принять, что

Рис. 1.5. Фазовый портрет системы Дуффинга

Замечено, что фазовый портрет системы имеет два фокуса, соответствующих более низкочастотной компоненте колебаний. Эти фокусы соответствуют статистической оценке наиболее вероятных видов (мод) колебаний.