3.4.3.1. Определение доверительных интервалов

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Найдем доверительный интервал; покрывающий параметр μ с надежностью γ. Будем рассматривать выборочную среднюю х как случайную величину X и выборочные значения признака х_ь х₂, ..., х» - как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁ Х₂,..., Х_n, имеющиеся от выборки к выборке. Математическое ожидание каждой из этих величин равно μ и среднее квадратичное отклонение - σ.

Примем без доказательства, что если случайная величина распределена нормально, то выборочная средняя X, найденная по независимым Наблюдениям также распределена нормальна. В соответствии с [ ] математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию μ каждой из величин, а среднее квадратическое

отклонение среднего арифметического п этих величин в раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин, то есть

M(X)=μ, σ(X)=σ/ .

Заданной надёжности γ будет соответствовать соотношение

(4.39)

Для нормального распределения в соответствия с [ ].

(4.40)

где - функция Лапласа. Заменяя в

(4.38) х на Х и σ на σ(х)= σ/ , получим

(4.41)

Обозначим аргумент функции Лапласа через t. Тогда окончательно получим

. (4.42)

Смысл полученного соотношения таков: доверительный интервал покрывает неизвестный параметр μ с надежностью γ. Аргумент t определяется из равенства F(t)=γ/2 по таблицам функции Лапласа [ ].

На практике встречается другая задача проверки достоверности гипотез распределения - определение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном квадратичном отклонении σ. Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение неизвестно и необходимо оценить неизвестное математическое ожидание с помощью Стьюдента быстро приближается к нормированному нормальному распределению с дисперсией, равной единице.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания непрерывной случайной величины должны определяться для заданной вероятности γ. При этом используется известная из теории вероятностей формула для определения вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Для четной функции и при симметричных относительно начала координат концах интервала такая вероятность равна,

где γ-заданная вероятность попадания.

Применительно к данной задаче вероятность существования неравенства выражается формулой

(4.46)

что может быть заменено эквивалентным двойным неравенством

(4.47)

Используя распределение Стьюдента, можно найти доверительный интервал, в котором неизвестный параметр μ определен с надежностью γ.

Пример 4.3: Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально

доверительного интервала. В этом случае следует по данным выборки построить случайную величину

, (4.43)

возможные значения которой обозначим через t. Здесь μ - математическое ожидание, х - выборочная средняя; s -исправленное среднее квадратическое отклонение; п - объем выборки. Исправленное среднее квадратическое отклонение

(4.44)

Величина Т имеет распределение Стьюдента. Плотность указанного распределения выражается формулой

(4.45)

Здесь Г - табулированная гамма-функция Величина k=n-1 называется числом степеней свободы распределения.

Распределение Стьюдента определяется параметром п -объемом выборки (или, что то же, числом степеней свободы k=n-1) - и не зависит от неизвестных параметров μ и σ. Эта особенность является достоинством данного вида распределения. С возрастанием числа степеней свободы распределение

Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,99.

По выборке объема п=20 найдены выборочная средняя

,

Х₁ =25,6. Эта выборочная средняя отличается от генерального среднего х на величину Δ, которая и представляет собой погрешность оценки и является функцией х_, x₁ и объема выборки п (помним, что при , ). Можно записать неравенство

(4.48)

Так как x₁ случайная величина, то ее функция Δ также будет случайной величиной. Следовательно, оценить Δ можно только с определенной вероятностью, которую обозначим 1-ε. С этой вероятностью соблюдается неравенство (4.48),то есть, с вероятностью 1-ε величина х попадает в интервал x₁ ± Δ, который и называется доверительным интервалом. Величину 1-ε называют доверительной вероятностью или надежностью оценки γ, а ε - уровнем значимости. Отметим, что для любого уровня значимости можно указать значение Δ, для которого справедливо

. Если многократно брать выборки по п образцов в каждой, то в Р = (1-ε)100% случаев истинное значение величины х попадает в доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания можно определить на основании выборочных x₁ и исправленного среднеквадратичного отклонения S₁ по соотношению

(4.49)

В (4.49) - квантиль распределения Стьюдента, то есть значение функции (4.43) при заданной вероятности ε и S₁ – выборочном исправленном среднеквадратичном отклонении (S₁ = 0.7).

Решение: Пользуясь таблицей для распределен»* Стьюдента [ ] при γ=0,99 и n=20_э находим =2,86. Определим доверительные границы

Итак с надежностью 0,99 неизвестный, параметр μ заключен в доверительном интервале 25,152<μ<26,048. При неограниченном возрастании объема выборки п распределение Стьюдента стремиться к нормальному, поэтому практически при n>30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.

Отметим также, что указанным подходом можно найти объем выборки п, достаточный для оценки x с заданной погрешностью (точностью) и надежностью (доверительной вероятностью). Видим также, что обоснование объема выборки для определения неизвестного среднего значения какой-либо механической характеристики или действующей нагрузки можно, только задаваясь определенной точностью - шириной интервала и вероятностью попадания в этот интервал. Очевидно, что аналогичным образом можно найти и доверительные интервалы при выборочной оценке дисперсии нормально распределенной величины х.

4.2 Основные понятия и определения надёжности

4.2.1 Понятия и характеристики надёжности

В современных установках надёжность систем, машин и устройств является наиболее важной технической характеристикой. Это требование интуитивно воспринимается всеми, кто использует какие-либо технические устройства.

Надёжность - это комплексный показатель, определяющий свойства технических устройств (систем, машин и т.д.) длительно сохранять параметры и рабочие характеристики в целом при заданных условиях использования, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки. Отметим, что для атомных электростанций в число показателей входят параметры радиационной обстановки на территории и в зоне АЭС.

К требованиям, характеризующим надёжность, прежде всего следует отнести качество живучесть и безопасность.

Качество - совокупность свойств, определяющих степень пригодности оборудования по назначению. Качество устройства зависит от способа его использования. Например, использование турбонасосного или компрессорного блока на режимах, не соответствующих расчётным, не только резко снижает его качественные параметры, но и влияет на его общее состояние, снижая его надёжность и живучесть.

Живучесть - это способность систем, машин, устройств противостоять крупным возмущениям без аварий и поломки оборудования. Это качество особенно важно для военных объектов и АЭС.

Безопасность - это такое свойство технической системы или устройства, которое предполагает исключение возможности возникновения ситуаций, опасных для людей и окружающей среды.

Надёжная работа систем, машин, устройств определяется очень большим числом разнородных по своей природе факторов. Например, надёжность турбинной установки определяется совершенством её конструкции, качеством использованных материалов, технологии изготовления, транспортировки и монтажа, условиями обслуживания и эксплуатации.

Современные сложные турбоустановки и энергетические системы требуют особенно высокой надёжности. Решение задач обеспечения надёжности в настоящее время основано на применении теории надёжности. Математический аппарат теории надежности - важный инструмент инженерной деятельности, так как решения, принимаемые только на основе опыта и интуиции, и не подтверждённые соответствующими расчетами, могут привести к серьезным ошибкам.