- •1. Определение линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
- •4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Определение ранга матрицы
- •10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
- •21. Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.
- •27. Определение k - плоскости. Гиперплоскость.
- •28. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Определение и примеры кривых второго порядка.
- •30. Определение и примеры поверхностей второго порядка.
- •1. Неравенство Коши-Буняковского.
- •2. Неравенство треугольника.
- •3. Линейная независимость лестничной системы векторов.
- •4. Однозначность разложения вектора по базису.
- •11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
- •12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
- •14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
- •15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
- •16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
- •17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
- •18. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •19. Вывод канонического уравнения гиперболы.
- •20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
Часть А.
1. Определение линейного пространства.
Линейное, или векторное пространство — это множество V( элементы которого называют векторами) с отмеченным вектором V (нулевой вектор), обладающее следующими свойствами:
Для любого из двух векторов определенна их сумма
Для любого вектора и числа определенно их произведение λ
(1) + = + .
(2) ( + ) + = + ( + ).
(3) + 0 = .
(4) для любого вектора существует такой вектор - , что + (− ) = 0.
(5) λ( + ) = λ + λ .
(6) (λ + μ) = λa + μa .
(7) (λμ) = λ(μ ).
(8) 1 = .
2. Определение подпространства линейного пространства. Критерий подпространства.
Пусть V – векторное пространство. Подмножество L V называют подпространством пространства V, если
для любых двух векторов a, b L их сумма a + b L
для любого вектора а L и любого действительного числа λ произведение λa также принадлежит L
Критерий подпространства:
3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
Система векторов … называется линейно зависимой, если существуют такие числа , ... , не равные одновременно нулю, что справедливо равенство …+ =
Если последнее равенство выполняется только при .= ..= , то система векторов называется линейно независимой.
Свойства линейной зависимости.
система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда а = 0
Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
Рангом системы векторов S={ … } пространства V называется размерность линейной оболочки этой системы L(S): rk(S)=dimL(S). Базисом системы S называется часть системы, являющаяся базисом линейной оболочки L(S).
Система векторов S={ … } называется базисом линейного пространства V если выполнены следующие условия: 1) векторы линейно независимы
2)Любой вектор из V является линейной комбинацией векторов .
5. Определение ортогональной системы векторов.
Система векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной, если все векторы в ней попарно ортогональны.
Ортогональность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю.
6. Определение скалярного произведения векторов в Rn и его свойства.
Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.
Свойства:
( , ) = ( , );
(λ , ) = λ( , );
( + , ) = ( , ) + ( , );
( , )≥0, и ( , ) = только в случае = .
7. Понятия определенной и неопределенной систем уравнений.
Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.