3.3. Гипербола
Определение 3.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы через
и
,
расстояние между ними через
,
т.е.
.
Модуль разности расстояний от каждой
точки гиперболы до фокусов обозначим
через
,
где
.
Пусть
произвольная точка
гиперболы. Обозначим
и
,
которые называются фокальными
радиусами точки
.
По определению гиперболы
или
.
Так как
и
,
то из уравнения
получаем
.
После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
.
(3.6)
где
.
Числа
и
называются соответственно действительной
и мнимой полуосями гиперболы.
Чтобы установить форму гиперболы и построить ее в прямоугольной системе координат , проведем исследование ее канонического уравнения.
1. Уравнение (3.6) содержит и только в четной степени. Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей и , а также относительно начала координат , который называют центром гиперболы.
2. Найдем точки пересечения эллипса с
осями координат. Положив в уравнение
(3.6)
,
находим две точки
и
,
в которых эллипс пересекает ось
,
которая называется действительной
осью гиперболы. Положив
,
получаем
уравнение, которое
не имеет действительных решений. Значит,
гипербола ось
не пересекает. Ось
называется мнимой осью. Точки
называются вершинами гиперболы.
Прямоугольник со сторонами
и
называется основным прямоугольником
гиперболы.
3. Из уравнения (3.6) следует, что уменьшаемое
не меньше единицы, т.е.
или
.
Это означает, что точки гиперболы
расположены справа от прямой
(правая ветвь гиперболы) и слева от
прямой
(левая
ветвь гиперболы).
4. Из уравнения (3.6) гиперболы видно, что
когда
возрастает, то и
возрастает. Это следует из того, что
разность
сохраняет постоянное значений, равное
единице.
5. Две прямые
и
являются асимптотами гиперболы.
Как и у эллипса, у гиперболы также рассматриваются эксцентриситет и директрисы.
Число
называется эксцентриситетом
гиперболы. Так как
,
то
и
.
Отсюда следует, что для гиперболы
эксцентриситет
.
Через эксцентриситет
можно выразить фокальные радиусы
и
любой его точки
.
Для фокальных радиусов точки
гиперболы получаем формулы
и
.
При изучении гиперболы большую роль
играют две прямые
,
которые называются директрисами
гиперболы. Так как для гиперболы
,
то
.
Это означает, что правая директриса
расположена между центром и правой
вершиной гиперболы, а левая – между
центром и левой вершиной.
Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса.
Замечание. Если центр гиперболы смещен в точку , то ее каноническое уравнение имеет вид
или
,
а асимптотами служат прямые вида
.