Задача № 4.

Предлагается изучить взаимозависимость социально-экономических показателей региона.

Y₁ –инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;

Y₂ –среднегодовая стоимость основных фондов в экономике региона, млрд. руб.;

Y₃ –стоимость валового регионального продукта региона, млрд. руб.;

X₁ –инвестиции прошлого года в экономику региона, млрд. руб.;

X₂ –темп роста производства промышленной продукции в регионе, %;

X₃ –среднегодовая численность занятых в экономике региона, млн. чел.

При этом, сформулированы следующие исходные рабочие гипотезы:

Задание:

1.На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;

2.Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;

3.Опишите методы, с помощью которых может быть найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).

Решение

1. Следующая система структурных уравнений описывает в формализованном виде выдвигаемые рабочие гипотезы:

2. Применив порядковое условие идентификации, определим, идентифицировано ли каждое из уравнений модели

В модели 3 эндогенных переменных: Y₁; Y₂; Y₃.

3 экзогенных переменных: Х₁, Х₂, Х₃

Лаговых переменных нет.

Общее число предопределенных переменных К = 3 + 0 = 3

Проверим уравнения на индентифицируемость.

Первое уравнение:

Здесь 2 эндогенных переменных: m = 2

И 2 предопределенных переменных: k = 2

Проверяем на идентификацию:

K – k = 3 – 2 = 1 = m – 1 = 2 – 1 = 1

Уравнение точно идентифицировано.

Второе уравнение:

Здесь 2 эндогенных переменных: m = 2

1 предопределенная переменная: k = 1

Проверяем на идентификацию:

K – k = 3 – 1 = 2 > m – 1 = 2 – 1 = 1

Уравнение сверхидентифицировано.

Третье уравнение:

Здесь 3 эндогенных переменных: m = 3

2 предопределенных переменных: k = 2

Проверяем на идентификацию:

K – k = 3 – 2 = 1 < m – 1 = 3 – 1 = 2

Уравнение неидентифицировано.

Следовательно, вся система не идентифицирована, т.е. в данном виде не может быть разрешима.

Теоретический анализ содержания взаимосвязи, отражённой в уравнении № 3, позволяет рассмотреть варианты возможной корректировки. Во-первых, из правой части может быть исключёна одна из эндогенных переменных. Скорее всего, ею может оказаться У₁ – инвестиции текущего года в экономику региона, так как по своему экономическому смыслу она менее тесно связана со стоимостью ВРП.

При корректировке рабочей гипотезы уравнение становится точно идентифицированным, а вся система – сверхидентифицированной.

Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются: а) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и б) двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений

Задача № 5.

По 18 территориям Центрального федерального округа России имеются данные за 2000 год о следующих показателях:

Y₁ - розничный товарооборот, млрд. руб.;

Y₂- сумма доходов населения за год, млрд. руб.;

X₁- численность занятых в экономике, млн. чел.;

X₂ - основные фонды в экономике, млрд. руб.;

X₃ - объём промышленной продукции, млрд. руб.

Изучение связи социально-экономических показателей предполагает проверку следующих рабочих гипотез:

Для их проверки выполнена обработка фактических данных и получена следующая система приведённых уравнений:

Задание:

1.Постройте систему структурных уравнений и проведите её идентификацию;

2.Проанализируйте результаты решения приведённых уравнений;

3.Используя результаты построения приведённых уравнений, рассчитайте параметры структурных уравнений (косвенный МНК); проанализируйте результаты;

4.Укажите, каким образом можно применить полученные результаты для прогнозирования эндогенных переменных и

Решение

1. Построение системы структурных уравнений выполняется в соответствии с рабочими гипотезами:

2. В соответствии со счетным правилом проверяем идентифицируемость системы уравнений.

В модели 2 эндогенных переменных: Y₁; Y₂.

3 экзогенных переменных: Х₁, Х₂, Х₃.

Лаговых переменных нет.

Общее число предопределенных переменных К = 3 + 0 = 3.

Первое уравнение:

Здесь 2 эндогенных переменных: m = 2

И 2 предопределенных переменных: k = 2

Проверяем на идентификацию:

K – k = 3 – 2 = 1 = m – 1 = 2 – 1 = 1

Уравнение точно идентифицировано.

Второе уравнение:

Здесь 2 эндогенных переменных: m = 2

Две предопределенных переменных: k = 2

Проверяем на идентификацию:

K – k = 3 – 2 = 1 = m – 1 = 2 – 1 = 1

Уравнение точно идентифицировано.

Следовательно, вся система точно идентифицирована, то есть имеется лишь одно решение. Его можно получить с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

3. Попробуем преобразовать исходные приведенные уравнения, чтобы получить искомые структурные уравнения. Для этого во втором уравнении выразим Х₃ через другие переменные и подставим в первое приведенное уравнение:

Переменные объясняют 79,1% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надежными, т.к.:

F_фактич = 13,9 > F_табл = 3,18 для d.f.₁ = 4; d.f.₂ = 18 – 4 – 1 = 13; α = 0,05.

Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.

Аналогично выполняем преобразования для определения параметров второго структурного уравнения.

Переменные объясняют 89,7% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надежными, т.к.:

F_фактич = 31,9 > F_табл = 3,18 для d.f.₁ = 4; d.f.₂ = 18 – 4 – 1 = 13; α = 0,05.

Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости и для второго уравнения.

Для выполнения прогнозных расчетов наиболее простым является вариант, по которому прогнозные значения экзогенных переменных подставляются в приведенные уравнения. Точность и надежность прогнозов в этом случае зависит от качества приведенных моделей и от того, как сильно отличаются прогнозные значения экзогенных переменных от их средних значений.