3 Одношаговые методы решения задачи Коши для оду первого порядка

Метод Эйлера

Рассмотрим задачу Коши

(3.1)

. (3.2)

На отрезке выберем конечное множество точек , причем будем считать, что . Искомую интегральную кривую , проходящую через точку приближенно заменим ломаной с вершинами , звенья которой прямолинейны между прямыми и и имеют подъем . Таким образом, звенья ломаной Эйлера в каждой вершине имеют направление , совпадающее с направлением интегральной кривой уравнения (3.1), проходящей через точки .

В методе Эйлера (метод ломаных) приближенное значение вычисляется по формуле

, (3.3)

где . Если – равноотстоящие точки, то

Для оценки точности полученного приближенного значения на практике пользуются двойным пересчетом: расчет на отрезке повторяют с шагом и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают по формуле

.

Метод Эйлера является простейшим численным методом интегрирования дифференциальных уравнений. К его недостаткам относится малая точность и систематическое накопление ошибок.

Модификации метода Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (3.1) с начальным условием (3.2). На отрезке зададим конечное множество точек .

Согласно методу Эйлера будем иметь

(3.4)

Более точным, в отличие от метода Эйлера, является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

и находят значение поля интегральных кривых в средней точке , то есть , а затем полагают

. (3.5)

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера-Коши, при котором сначала определяется «грубое приближение» решения , исходя из которого, находится направление поля интегральных кривых . Затем приближенно полагают

. (3.6)

Остаточные члены первого (3.5) и второго (3.6) улучшенных методов Эйлера на каждом шаге имеют порядок . Оценка погрешности в точке может быть получена с помощью двойного пересчета: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают приближенно по формуле

,

где – точное решение дифференциального уравнения.

Усовершенствованный метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить, применяя итерационную обработку каждого значения . А именно, исходя из грубого приближения

строим итерационный процесс

.

Итерации продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения и не совпадут. После чего принимают за приближенное значение . Если же алгоритм уточнения после трех – четырех итераций не приводит к совпадению требуемого числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг вычислений .

Метод Эйлера и его модификации являются простейшими представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) и являются одношаговыми.

Метод Рунге-Кутта

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (3.1) с начальным условием (3.2). Выбирая шаг , на отрезке введем сетку , . Вычислим числа

,

.

Согласно обычному методу Рунге-Кутта последовательные приближенные значения искомой функции определяются по формуле

, (3.7)

где ,

Шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага рекомендуется вычислять дробь

.

Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.

Погрешность этого метода на каждом шаге есть величина порядка , если , а на всем отрезке порядок точности равен .

Оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку можно получить с помощью двойного просчета по формуле:

,

где – значение точного решения (3.1) в точке , а и – приближенные значения, полученные с шагом и .

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений. Кроме того, важным преимуществом этого метода является возможность применения «переменного шага».

Заметим, что для начала вычислений по методу Рунге-Кутта не нужно строить начальный отрезок.

При вычислении приближенного решения задачи (3.1)-(3.2) по формуле (3.7) удобно пользоваться схемой, приведенной в следующей таблице:

i	x	y
0
1	…	…	… …	… …