3.1.2.3 Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
Дробная часть числа по схеме Горнера представляется в виде (1.6). Рассуждая по аналогии с переводом целых чисел из одной системы счисления в другую, но, используя операцию умножения, формулируем правило перевода дробных чисел./4/
Правило перевода дробных чисел из одной системы счисления в другую:
последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы, выраженное цифрами исходной системы, до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю;
полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе, выразить цифрами алфавита этой системы;
составить дробную часть числа в новой системе, начиная с целой части первого произведения.
Пример 1.6. Перевести число A10 = 0,65625 в A2 различными способами.
-
1) A10 A2
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
65625
2
1
31250
2
0
62500
2
1
25000
2
0
50000
2
1
00000
A2 = 0,10101;
-
2) A10 A8 A2
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
65625
8
5
25000
8
2
00000
A8 = 0,52 A2 = 0,10101;
-
3) A10 A16 A2
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
65625
16
(A) 10
50000
16
8
00000
A16 = 0,A8 A2 = 0,10101.
В частном случае, если знаменатель дробной части представляет целую степень цифры 2, то есть
,
(1.11)
то числитель «a» переводится как целое, которое записывается в «k» разрядах после запятой.
Пример 1.7.
Действительно,
При переводе смешанных дробей отдельно по своим правилам переводятся целая и дробная части, результаты разделяются запятой.
3.1.2.4 Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему
Перевод чисел в десятичную систему может выполняться либо по правилам перевода, либо по формулам степенного ряда (1.3), либо по формулам разложения по схеме Горнера (1.5), (1.6).
1) Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую (по правилам).
-
а) A2 = 10101101 A10
10101101
1010
0011 (3)
10001
1010
0111 (7)
1
1 (1)
A10 = 173;
-
б) A8 = 255 A10
255
12
3
21
12
7
1
1
A10 = 173;
-
в) A16 = AD A10
AD
A
3
11
A
7
1
1
A10 = 173.
Перевод дробной части числа (по правилам).
a) A2 = 0,10101 A10
-
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
10101
1010
(6) 110
1001
1010
(5) 101
1010
1010
(6) 110
0100
1010
(2) 10
1000
1010
(5) 101
0000
A10 = 0,65625;
-
б) A8 = 0,52 A10
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
52
12
(6)
44
12
(5)
50
12
(6)
20
12
(2)
40
12
(5)
00
A10 = 0,65625;
-
в) A16 = 0,A8 A10
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
A8
A
(6)
90
A
(5)
A0
A
(6)
40
A
(2)
80
A
(5)
00
A10 = 0,65625.
2) Перевод целых чисел по степенному ряду.
A2 = 10101101 A10 = 1 27 + 0 26 + 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 0 21 + + 1 20 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 173;
A8 = 255 A10 = 2 82 + 5 81 + 5 80 = 128 + 40 + 5 = 173;
A16 = AD A10 = 10 161 + 13 160 = 173.
Перевод дробной части числа по степенному ряду.
A2 = 0,10101 A10 = 1 2–1 + 0 2–2 + 1 2–3 + 0 2–4 + 1 2–5 = 0,5 + 0,125 + + 0,03125 = 0,65625;
A8 = 0,52 A10 = 5 8–1 + 2 8–2 = 0,625 + 0,03125 = 0,65625;
A16 = 0,A8 A10 = 10 16–1 + 8 16–2 = 0,625 + 0,03125 = 0,65625.
3) Перевод целых чисел по схеме Горнера.
A2 = 10101101 A10 = ((((((1 2 + 0) 2 + 1) 2 + 0) 2 + 1) 2 + 1) 2 + 0) 2 + 1 = = 173;
A8 = 255 A10 = (2 8 + 5) 8 + 5 = 168 + 5 = 173;
A16 = AD A10 = 10 16 + 13 = 173.
Перевод дробной части по схеме Горнера.
A2
= 0,10101
A10
=
(1
+
(0
+
(1
+
(0
+
))))
=
=
0,65625;
A8
= 0,52
A10
=
(5
+ 2
)
=
=
0,65625;
A16
= 0,A8
A10
=
(10
+ 8
)
=
=
0,65625= 0,65625.
Из анализа способов перевода чисел из разных систем счисления в десятичную следует, что перевод чисел и использованием рассмотренных методов из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную затруднителен, так как требует знания восьмеричной и шестнадцатеричной таблиц умножения.
Перевод по степенному ряду многоразрядных чисел требует знания или вычислений степеней основания, а для перевода по формуле Горнера умножение производится только на первую или минус первую степени основания.