§ 20. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Распространим определения числовых характеристик дискретной случайной величины на непрерывные случайные величины.

1. Математическое ожидание

Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) и все ее возможные значения принадлежат отрезку [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков длиной . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку

Д ля определения M(X) по аналогии с дискретной случайной величиной составим сумму произведений возможных значений на вероятности p_i попадания их в частичный интервал .

.

Вероятность р_i равна площади частичной криволинейной трапеции с основанием и приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

.

Значит, .

Тогда

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b] называют

.

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси 0х, то

.

Замечание. Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.

2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Пусть Х – непрерывная случайная величина, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b] , тогда дисперсия равна

.

Если возможные значения принадлежат всей оси x, то

Для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины более удобны формулы, следующие из теоремы

или

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины

Свойства числовых характеристик дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Пример. . Найти M(X) и D(X).

Решение:

1-й способ:

2-й способ:

§21. Нормальный закон распределения (нормальное распределение)

Наиболее важными распределениями непрерывных случайных величин являются следующие распределения: нормальное; равномерное; показательное.

Нормальный закон распределения играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Опр. Непрерывная случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения, если ее плотность распределения f(x) имеет вид

Вероятностный смысл параметров a и 

Нормальное распределение определяется двумя параметрами a и . Докажем, что a – есть математическое ожидание;

 - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

Док-во.

Предварительное замечание: – интеграл Пуассона (Эйлера–Пуассона)

Итак, M(X)=a

2. Можно доказать . Отсюда

Нормальная кривая (кривая Гаусса)

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Исследуем функцию

1. Область определения

2. Множество значений (выше оси Ox)

3. ось Ox , т.е. y=0 – горизонтальная асимптота.

4. Интервалы монотонности, экстремумы

при

x-a – точка максимума; . График симметричен относительно прямой x=a.

5. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

– точки перегиба.

6. График