17. Методика изучения показательной и логарифмической функции.

Значение, место и методика изучения показательной и логарифмической функций.

В природе существует такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями. Среди этих функций важное значение имеют показательная и логарифмическая функции. Показательная функция служит математической формой выражения обширная класса процессов, происходящих в реальной действительности и имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин, например: численности населения, скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д.

В раскрытии закономерностей этих процессов используется и логарифмическая функция.

Логические и дидактические соображения говорят о том, что изучение показательной и логарифмической функций с произвольным показателем.

В 9 классе в связи с повторением, а затем дальнейшим, а затем дальнейшим повторением и обобщением понятия степени последовательно формируются и понятие показательной функции на множестве действительных чисел. Этот процесс состоит в изучении свойств функции у=а^х на различных этапах расширения и обобщения понятия степени:

1. аεQ, хεN;

2. аεQ, а≠0, хεZ;

3. аεQ, а>0, хεQ;

4. аεR, а>0, хεR.

Сведения о понятии действительного числа, накопленные до 9 класса, недостаточны для строгого определения показательной и логарифмической функций и описание их свойств. Поэтому к показательной и логарифмической функциям, изучаемым в 9 классе на индуктивной и наглядной основе, приходится возвращаться в 11 классе, с тем чтобы завершить логически удовлетворительное изложение материала.

В 9 классе учащиеся впервые встречаются с функцией у=а^х, где хεN при изучении формулы n-го члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1= b1/q *q^n.

Здесь следует рассмотреть частного вида последовательность q,q ^2,q ^3,…, q^n,…с формулой n-го члена bn= q^n (q>0) и в порядке упражнений построить графики функций при конкретно заданных q>1 и q<1 соответственно, отметив по графикам их свойства: возрастание (q>1), убывание (q<1), положительные значение функции на всей ее области определения при любых значениях q>0. Этой функцией можно дать название показательной, определенной на множестве N, но можно этого и не делать, если основной материал темы усваивается учащимся с затруднением.

Основная цель - познакомить учащихся с показательной, логарифмической функциями, их свойствами и графиком.

Какие методические подходы к изучению этих функций существуют в школьных учебниках? В чем их различие? Дается ли понятие обратной функции? И если дается, то когда?

Учебники «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл.	1.Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.	2.А.Н.Колмогоров,А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.	3. Виленкин Н.Я.
В каких классах	Изучают в 10 классе	Изучают в 11классе	Изучают в 11 классе
В каком главе и сколько часов дается.	Глава1. Показательная функция (10ч) 1.Свойства показательной функции и ее график.(2Ч) 2.Показательные уравнения и неравенства Упражнения к главе 1 Глава2. Логарифмическая функция (14ч) Логарифмы Свойства логарифмов Десятичные и натуральные логарифмы. Лог.функция и ее график.(2ч) Обратная функция Лог.ур-я Лог.нер-ва	Глава 4. Показательная и логарифмическая функции (36ч). § 9. Обобщение понятия степени 32.Корень n-й степени и его свойства 33. Иррациональные уравнения 34.Степень с рациональным показателем. § 10. Показательная и логарифмическая функция(18ч) 35.Показательная функция(2ч) 36. Решение показательных уравнений и неравенств 37. Логарифмы и их свойства 38. Логарифмическая функция(3ч) 39. Решение лог.ур-й и нер-в 40. Понятие об обратной функции	Глава 8. Показательная, логарифмическая и степенная функции.(40ч) § 1. Показательная функция и ее свойства 1.Процессы ограниченного роста и убывания 2.Обобщения понятие степени 3Определение функции lnx, ее свойства и график 4.Логарифми- ческая функция и степень с любым показателем 5. Показательная функция, ее свойства и график
	Прежде чем вводить понятие показательной функции, рекомендуется повторить понятие степени с действительным показателем и ее свойства, а также свойства степенной функции. Свойства монотонности показательной функции обосновывается аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов.	Понятия корня n-й степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции. Изучение свойств показательной, логарифмической функций построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров.	Здесь показательную функцию проходят после изучения логарифмической функции. Описывает процессы органического изменения. Производная и первообразная показательной функции. Число е. Натуральный логарифмы. (Вычисление пределов, связанных с числом е). радиоактивный распад. Затухающие колебания.
Задачный материал	На показательную функцию-12 задач. Из них 6 обязательных. На логарифмическую функцию-14 задач. Из них 10 обязательных. Одна задача сложный, 2 задачи трудные.	На показательную функцию-15 задач. Из них 6 обязательных: 1. Постройте свойства функции и постройте ее график: а) у=4^х; 2. Найдите область значений функции: а) у=-2^х 3. Сравните числа: а) 2,5^-√2 и 1 4. Решите графически уравнения: а) 3^х=4-х На логарифмическую функцию-13 задач. Из них 6 обязательных Найдите область определения выражения: loqπ (10-5х); Сравните числа: а) loq2 3,8 и loq2 4,7; Перечислите основные свойства функции и постройте ее график: а) у=loq3 х; 4.Верно ли, что лог. функция: а) имеет экстремумы; б) Является нечетной; в) является периодической; г) является четной?	На логарифмическую функцию-23 задач. Найдите область определения функций: а) loq1/3 (4х-8); Начертите график функции loq2 (х-4)+ loq2 (8-х); | loq3 (х-2)| Какая из функций loq3 х, loq2 х – быстрее возрастает, когда х→+∞? Какая из этих функций больше на промежутке 0<x<1? На показательную функцию-8 задач. 1.Постройте на одном чертеже графики функций у=2^х и у=3^х при -1<х<1 в масштабе 1:5 см. 2.Как по графику функции у=с*а^х определить основание а и коэффициент с? 3.Вычислить предел Limх→+∞ 1/х^2+3^х