- •Северный (Арктический) федеральный университет физика колебаний и волн
- •Рекомендации по решению задач контрольных работ
- •1.3. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки
- •1.4. Кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия колеблющейся материальной точки
- •1.5. Гармонические осцилляторы
- •1.5.1. Пружинный маятник
- •1.5.2. Математический маятник
- •1.5.3. Физический маятник
- •1.6. Сложение гармонических колебаний
- •1.6.1. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты
- •1.6.2. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
- •1.7. Затухающие механические колебания
- •1.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •1.9. Механические волны. Уравнение плоской волны
- •2. Волновая оптика
- •2.1. Интерференция света. Условия максимумов и минимумов при интерференции
- •2.2. Интерференция света при отражении от тонких пленок
- •2.3. Кольца Ньютона
- •2.4. Дифракция света. Дифракционная решетка
- •2.5. Поляризация света
- •2.5.1. Поляризованный свет. Степень поляризации
- •2.5.2. Закон Брюстера
- •2.5.3. Закон Малюса
- •2.5.4. Вращение плоскости поляризации
- •Примеры решения задач
- •Задачи контрольных работ
1.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
Под вынужденными понимаются колебания, происходящие под воздействием внешнего периодически изменяющегося фактора. Если таким фактором является сила, то возникают механические вынужденные колебания, если напряжение или Э.Д.С. - электромагнитные и так далее.
Здесь мы будем рассматривать только механические вынужденные колебания, происходящие под воздействием внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону силы:
,
где F0 – амплитудное значение силы, ω – циклическая частота, с которой она изменяется с течением времени t.
При
этом в колеблющейся системе через
некоторый промежуток времени Δt,
называемый временем установления
колебаний (рисунок 10), происходят
гармонические колебания с частотой ω
периодически изменяющегося фактора
(в нашем случае – силы) с отставанием
по фазе на φ.
Рисунок 10
В дальнейшем мы будем рассматривать только установившиеся механические вынужденные колебания. Уравнение этих колебаний имеет следующий вид:
,
где х - смещение, А - амплитуда вынужденных колебаний, t- время.
В последнем уравнении величину можно найти из условия
,
где ω0 - собственная циклическая частота колебаний системы, β- коэффициент затухания, рассчитываемый по формуле:
,
в которой r - коэффициент сопротивления, m - масса колеблющейся системы (например, тела или материальной точки).
Амплитуда механических вынужденных колебаний:
.
В этой формуле
Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса, под которым понимается резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты изменения внешнего периодически изменяющегося фактора, например, силы, к частоте собственных колебаний системы (рисунок 11).
Циклическая
частота внешнего вынуждающего фактора,
отвечающая максимальной амплитуде,
называется резонансной:
,
а
амплитуда, отвечающая резонансной
частоте - резонансной амплитудой:
.
ωр1<
ωр2,
β1>β2
Рисунок 11
Так как
то
.
Следовательно, рост коэффициента затухания β приводит к уменьшению резонансной амплитуды.
1.9. Механические волны. Уравнение плоской волны
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется механической волной.
Здесь мы будем рассматривать, в основном, только плоские механические волны, распространяющиеся в однородной упругой среде в положительном направлении оси х.
Уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х:
,
где - смещение материальных точек среды с координатой х в момент времени t; А – амплитуда волны; ω – циклическая частота; υ – фазовая скорость; φ0 – начальная фаза, которая определяется выбором начала отсчета величин х и t.
Волновое движение характеризуется длиной волны λ и волновым числом k.
Длина волны λ – это расстояние, которое проходит волновой фронт за время, равное периоду колебаний Т материальных точек среды, в которой распространяется волна:
С помощью волнового числа
уравнение плоской волны преобразуется к следующему виду:
.
График
гармонической волны, распространяющейся
вдоль оси х,
представлен на рисунке 12.
Рисунок 12