- •§ 1. Преобразование координат. Условное обозначение
- •§ 2. Контравариантные векторы. Конгруэнции кривых. Пусть задана система п функций от переменных х и пусть п функций у* определяются равенствами
- •§ 4. Тензоры. Симметрические и кососимметрические тензоры. Пусть л', |л-' — компоненты двух контравариант- ных векторов, а — компоненты двух ковариантных векторов. Если положить
- •Глава I
ГЛАВА
І
суммы.
Совокупность
п
независимых переменных х\ где і
принимает
значения от 1
до п,
можно рассматривать как систему
координат в я-мерном пространстве Уп
в
том смысле, что каждая система значений
этих переменных определяет точку в
пространстве Уп.
Будем предполагать координаты
вещественными, если не будет оговорено
противное.
Пусть
задана система п
независимых вещественных функций <р'
переменных х1,
х”
... хп
1).
Для того чтобы эти функции были
независимы, необходимо и достаточно,
чтобы якобиан, составленный для этих
функций, не был тождественно равен нулю
2).
Таким
образом.
Если
положить
х'1'
= ?'■ (х1 х”)
(і
--1,
...,
п),
(1.2)
то
совокупность переменных х'' представляет
собой другую систему координат в
пространстве; если в правые части
равенств (1.2)
подставить координаты х' какой-
нибудь
точки Р,
то эти равенства определят координаты
х'' той же точки Р (в новой системе
координат). Таким образом, равенства
(1.2) определяют преобразование
координат
в пространстве Уп.
В силу условия (1.1) переменные х‘ могут
быть выражены через х'' и, следовательно,
х'
= й'(х'\ ...,
х'п)
(1
= 1,...,«).
(1.3)
Приняв
во внимание, что все х суть функции от
х', получим, используя правила
дифференцирования,§ 1. Преобразование координат. Условное обозначение
Но
так как все х независимы, то левая часть
равна нулю, если кФ},
и равна единице, если к
= ].
Запишем это в виде
Символ
£у носиг название символа
Кронекера
(кро-
некероеа дельта)
и будет часто употребляться в этой
книге.
Аналогичным
образом получим:
1,
...,п
Если
в равенстве (1.4) фиксировать значение
к.
а индексу/ придавать значения от 1
до л, то получим п
линейных
Решая
уравнении
относительно (для / = 1,
уравнения
относительно этих производных, полу
элемента
В
точке Р
пространства некоторое направление
определяется дифференциалами dx1-,
это же направление определяется в
другой системе координат х'1
дифференциалами dxn,
которые определяются, согласно равенству,
следующими формулами:
Введем
теперь условие, которого мы будем
придерживаться на протяжении всей
книги, а именно: если один и тот же индекс
входит дважды в какой-нибудь член: один
раз как верхний индекс, а другой раз
как
нижний, то мы будем считать, что
это индекс суммирования, т. е. что этому
индексу следует придать все значения
от 1
до л и полученные п
членов сложить;таким образом, вместо
суммы п
членов мы будем писать
только один
член. Так, например, равенство (1.8)
запишется в виде
Так
как в правую часть равенства индекс /
входит деэжды,
а
индекс i
только один раз, то в силу принятого
условия правая часть этого равенства
заменяет сумму
AY'i ftx** fS
~dxl
+ °-^dx~+...+~dxn.
dx1
1
dx2
1 dxn
Если
один и тот же индекс входит дважды и по
этому индексу производится суммирование,
мы будем его называть немым
индексом,
или фиктивным
индексом
(dummyindex),
поскольку выбор буквы, обозначающей
этот ин-
декс, не играет никакой роли.
Однако буква, уже входящая в качестве
нефиктивного индекса, не может быть
принята за обозначение фиктивного
индекса. Так, напв равенстве (1.9) фиктивный
индекс / немож<менен индексом 1,
но правую часть равенства