- •Гармонический анализ
- •§1. Периодические функции.
- •Примеры из фэпо.
- •§2. Гармонические колебания.
- •Примеры из фэпо
- •§ 3. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Основные понятия. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2.
- •Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры.
- •§ 4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2.
- •Решение:
- •§ 5. Сдвиг основного промежутка.
- •Решение:
- •§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
- •Решение:
- •Решение:
- •§ 7. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.
- •Решение:
- •§ 8. Разложение в ряд Фурье функций с “двойной симметрией”.
- •§ 9. Интеграл Фурье.
- •2.1. Интеграл Фурье и двойной интеграл Фурье.
- •Решение:
- •2.2. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.
- •Решение:
- •Решение:
- •2.3. Комплексная форма интеграла Фурье.
- •Решение:
Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры.
Практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье):
f(x) = + ( ancos nx + bnsin nx ), (*)
Запишем данный ряд в виде суммы простых гармоник, полагая коэффициенты равными an= Ansinn , bn= Ancosn . Получим: ancos n + bnsinn = Ansin( nx + n ), где
An = , tg n = . (**)
Тогда ряд (*) в виде простых гармоник примет вид f(x) = .
Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенное дискретное значение.
Иногда n-ую гармонику записывают в виде ancos nx + bnsin nx = Ancos(nx – n) , где an = Ancosn , bn = An sinn .
При этом An и n определяются по формулам (**). Тогда ряд (*) примет вид
f(x) = .
Определение 9. Операция представления периодической функции f(x) рядом Фурье называется гармоническим анализом.
Выражение (*) встречается и в другой, более употребительной форме:
Коэффициенты an, bn определяются по формулам:
величина C0 выражает среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей, которая вычисляется по формуле:
В теории колебаний и спектрального анализа представление функции f(t) в ряд Фурье записывается в виде:
(***)
т.е. периодическая функция представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть синусоидальное колебание с амплитудой Сn и начальной фазой n, то есть ряд Фурье периодической функции состоит из отдельных гармоник с частотами, отличающимися друг от друга на постоянное число. Причем каждая гармоника имеет определенную амплитуду. Значения Сn и n должны быть надлежащим образом подобраны для того, чтобы равенство (***) выполнялось, то есть определяются по формулам (**) [Сn = Аn].
Перепишем ряд Фурье (***) в виде где 1 – основная частота. Отсюда можно сделать вывод: сложная периодическая функция f(t) определяется совокупностью величин Сn и n .
Определение 10. Совокупность величин Сn , то есть зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудным спектром функции или спектром амплитуд.
Определение 11. Совокупность величин n носит название спектра фаз.
Когда говорят просто “спектр”, то подразумевают именно амплитудный спектр, в остальных случаях делают соответствующие оговорки. Периодическая функция имеет дискретный спектр (то есть она может быть представлена в виде отдельных гармоник).
Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты Сn и = n1. Спектр будет изображен в этой системе координат совокупностью дискретных точек, т.к. каждому значению n1 соответствует одно определенное значение Сn . График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рис. 2).
Р ис. 2.
Дискретные, или линейчатые, спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае спектр обязательно гармонический.
Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодической функции. Для этого надо применить предельный переход при Т∞, рассматривая непериодическую функцию как предельный случай периодической при неограниченно возрастающем периоде. Вместо 1/Т введем круговую основную частоту 1= 2/Т. Эта величина – есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны 2n/Т. Если Т ∞, то 1 d и 2n/Т , где – текущая частота, изменяющаяся непрерывно, d – ее приращение. При этом ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, который представляет собой разложение непериодической функции в бесконечном интервале (–∞;∞) на гармонические колебания, частоты которых непрерывно меняются от 0 до ∞:
Непериодическая функция имеет непрерывный или сплошной спектры, т.е. вместо отдельных точек спектр изображается непрерывной кривой. Это получается в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье: интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр изображается непрерывной последовательностью точек, т.е. непрерывной кривой. Функции a() и b() дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты .