1.3 Классификация смо

В зависимости от совокупности специфических факторов СМО можно классифицировать следующим образом:

• одно- и многоканальные СМО с ожиданием;

• одно- и многоканальные СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди;

• многоканальные СМО с ограничением времени ожидания и без ограничения на длину очереди;

• замкнутые одно- и многоканальные СМО и разомкнутые СМО;

• многоканальные СМО с отказами и взаимопомощью между каналами типа «все как один»;

• многоканальные СМО с ожиданием и взаимопомощью между каналами типа «все как один»;

• многоканальные СМО с ожиданием, ограничением по типу очереди и взаимопомощью между каналами типа «все как один»;

• многоканальные СМО с отказами и «равномерной» взаи­мопомощью между каналами;

• многоканальные СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами;

• многоканальные СМО с ожиданием, ограничением на длину очереди и «равномерной» взаимопомощью между каналами;

• по ха­рактеру потоков — марковские и немарковские;

• по количеству этапов обслуживания — на одно- и многофаз­ные СМО.

Кратко рассмотрим особенности функционирования некото­рых из этих систем.

1. СМО с ожиданием характеризуется тем, что в системе из n (n > 1) каналов обслуживания любая заявка, поступившая в СМО в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания, причем любая пришедшая за­явка будет обслужена. Такая система может находиться в одном из бесконечного множества состояний:

s_k (k = 0,1,..., п) — k ка­налов заняты и очереди нет; s_n+r (r = 1,2,...) — все каналы заня­ты и в очереди находится г заявок (r ). Граф состояний рас­сматриваемой СМО имеет вид рис. А.

2. СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди отличается от вышеприведенной тем, что эта система может находиться в одном из n + m + 1 состояний. В состояниях s0, s1,..., sn очереди не существует, так как заявок в системе или нет вообще и каналы свободны (s0), или в системе есть несколько i (i 1,..., n) заявок, которые обслуживает соответствующее число каналов, но очереди все равно в системе нет. В состояниях s_n+1, s_n+2, … , s_n+m в системе имеется соответствующее (n+1, n+2,..., n+r,…,n+m) число заявок и (1, 2,..., r,..., m) заявок, стоящих в очереди.

Заявка, пришедшая на вход СМО в момент времени, когда в очереди стоят уже m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной. Граф состояний СМО можно представить в ви­де рис. б.

3. На практике могут встречаться так называемые СМО с нетерпеливыми заявками (с ограничением на время ожидания в очере­ди и без ограничения на длину очереди), имеющие место при спе­цифических ограничениях, налагаемых на порядок проведения банковских операций, например, на срочность и приоритетность обслуживания крупных и солидных клиентов, исполнения плате­жей и т. п. Граф состояний такой СМО приведен на рис. в.

4. Разомкнутые СМО, когда источник требования находится вне системы.

Примером разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров. Здесь неисправные телевизоры — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограни­ченным.

5. Замкнутые СМО.

К ним относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправ­ностей, а, следовательно, источником требований на их обслу­живание, например, бригадой наладчиков.

Все рассмотренные выше СМО характе­ризуются одним общим свойством, состоящим в том, что вхо­дящий поток заявок и его интенсивность не зависят от состояний системы, так как источник поступающих заявок находится вне системы. Если же интенсивность потока поступающих зая­вок определяется состоянием конкретной системы, то такие сис­темы называются замкнутыми СМО.

Такая система может содержать конечное число источников заявок, каждый из них может находиться в одном из двух со­стояний — активном (состояние, при котором уже обслужена поданная им последняя заявка) или пассивном (состояние, при котором поданная источником последняя заявка еще не обслу­жена; она либо стоит в очереди, либо находится под обслужива­нием). В активном состоянии источник может подавать заявки, в пассивном — не может. Отсюда интенсивность общего потока заявок зависит от того, сколько источников находится в пассив­ном состоянии, и связана с процессом обслуживания (стоит в очереди или непосредственно обслуживается).

Граф состояний подобной замкнутой многоканальной СМО (рис. г) может включать в себя следующие состояния: s0 — все i источников находятся в активном состоянии, все n каналов свободны, очереди нет; s1 — один источник находится в пассив­ном состоянии, один канал занят обслуживанием заявки, по­данной этим источником, остальные i—1 источников находятся в активном состоянии, n - 1 каналов свободны, очереди нет; s2 - 2 источника находятся в пассивном состоянии, два канала заняты, i - 2 источника в активном состоянии, n - 2 канала свободны, очереди нет; .... Sn —все n источников находятся в пассивном состоянии, все л каналов заняты, i-n источников в активном состоянии, очереди нет; S_n+1 - n+1 источников находятся в пассивном состоянии, n каналов — заняты, одна заявка в очереди, i-(n+1) источников находятся в активном состоянии;... S_t — все i источников находятся в пассивном состоянии, n каналов заняты, i—n заявок в очереди.

Все ранее рассмотренные СМО имели то свойство, что каждая заявка могла обслуживаться только одним каналом, что на практике соблюдается не всегда, и есть такие СМО, в которых одна и та же заявка может обслуживаться несколькими канала­ми. Каналы работают с взаимопомощью типа «все как один», т. е. при появлении первой заявки ее начинают обслуживать все n каналов, которые будут заняты до полного исполнения заявки. Если во время занятости каналов поступает заявка, то она полу­чает отказ и покидает систему. После завершения обслуживания все n каналов оказываются свободными, пока не поступит сле­дующая заявка, на обслуживание которой переключатся опять все каналы и т. д.

Таким образом, многоканальная СМО работает по сути как одноканальная, когда все n каналов работают как один с дисци­плиной взаимопомощи, называемой «все как один», но с более высокой интенсивностью обслуживания. Граф состояний подоб­ной системы (рис. д) содержит всего два состояния: S₀ (S₁) -все n каналов свободны (заняты).

Анализ различных видов СМО с взаимопомощью типа «все как один» показывает, что такая взаимопомощь сокращает сред­нее время пребывания заявки в системе, но ухудшает ряд других таких характеристик, как вероятность отказа, пропускная способ­ность, средние число заявок в очереди и время ожидания их вы­полнения. Поэтому для улучшения этих показателей используется изменение дисциплины обслуживания заявок с «равномерной» взаимопомощью между каналами следующим образом: а) если заявка поступает в СМО в момент времени, когда все каналы свободны, то все л каналов приступают к ее обслуживанию; б) если в это время приходит следующая заявка, то часть каналов переключается на ее обслуживание; в) если во время обслужива­ния этих двух заявок поступает третья заявка, то часть каналов переключается на обслуживание этой третьей заявки и т.д., до тех пор, пока каждая заявка, находящаяся в СМО, не окажется под обслуживанием только одного канала. При этом заявка, по­дпившая в момент занятости всех каналов, в СМО с отказами и «равномерной» взаимопомощью между каналами (рис. е), может получить отказ и вынуждена покинуть систему необслуженной, в других комбинациях более сложных СМО может или ожидать я очереди определенной длины (СМО с ожи­данием, ограничением на длину очереди и «равномерной» взаимо­помощью между каналами, рис. ж), или находиться в ней сколько угодно длительное время (СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами, рис. з).

Таким образом, учет специфики моделей разновидностей СМО в практической деятельности субъектов рынка позволяет пронести более глубокий анализ особенностей функционирова­ния сложных систем и оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок, вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации протекаю­щих процессов, экономии финансовых и прочих ресурсов, сни­жению рисков в условиях неопределенности деловой внешней и внутренней среды.

Возможны и другие признаки классификации СМО, на­пример, по дисциплине обслуживания, однофазные и многофазные СМО и др.

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно разделить на аналитические и имитационные.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения та­ких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим.

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность по­ступления за время t ровно k требований задается формулой:

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарности, стационарности и отсутствием последействия.

Ординарность потока означает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.

Стационарным называется поток, для которого матема­тическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим А), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определен­ного количества требований в течение заданного промежутка времени At зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требова­ний, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток вре­мени от t до t + ∆t.

Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити и он устранен ткачихой, то это не оп­ределяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на веро­ятность возникновения обрыва на других станках.

Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следователь­но, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и особенно в практических прило­жениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

F(t)=1-е

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосхо­дит некоторой величины t, определяется этой формулой, где — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания t_o6:

= 1/ t_o6

Рассмотрим ряд основных понятий, связанных с имитационным моделированием. Не во всех задачах анализа возможно использование аналитических методов решения.

Если изучаемые процессы имеют явно нелинейный характер и при этом осложнены разного рода вероятностными характеристиками, то о практически полезном аналитическом решении не может быть и речи. В этих случаях могут быть применены методы машинной имитации, то есть методы экспериментального изучения социально-экономических систем с помощью ЭВМ. Машинная имитация применяется тогда, когда реальный экономический эксперимент по каким-либо причинам невозможен, и тогда имитация выступает в качестве замены реального эксперимента либо в качестве предварительного этапа, позволяющего принять более обоснованное решение о проведении такого эксперимента.

При машинной имитации формируется так называемая имитационная система, в которую входят имитационная модель, имитирующая исследуемый процесс, и набор алгоритмов и программ, предназначенных как для обеспечения диалога человека и ЭВМ, так и для решения задач типа ввода и вывода информации, формирования базы данных и т.д. Имитационная модель при этом сама является своего рода программой для ЭВМ. Практическое применение этой модели заключается в наблюдении за результатами весьма многовариантных расчетов по такой программе при различных задаваемых значениях вводимых экзогенных переменных. В процессе анализа этих результатов могут быть сделаны выводы о поведении системы без ее построения, если эта система только проектируется, без вмешательства в ее функционирование, если это действующая система, и без ее разрушения, если целью эксперимента является определение пределов воздействия на систему. Таким образом могут быть достигнуты цели экономико-математического моделирования в тех случаях, когда аналитическое решение невозможно.

Процесс последовательной разработки имитационной модели начинается с создания простой модели, которая затем постепенно усложняется в соответствии с предъявляемой решаемой проблемой требованиями. В каждом цикле имитационного моделирования можно выделить следующие этапы:

1. Формулирование проблемы: описание исследуемой проблемы и определение целей исследования.

2. Разработка модели: логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы.

3. Подготовка данных: идентификация, спецификация и сбор данных.

4. Трансляция модели: перевод модели со специальных имитационных языков, используемых на втором этапе, на язык, применяемый для используемой ЭВМ.

5. Верификация: установление правильности машинных программ.

6. Валидация: оценка требуемой точности и адекватности имитационной модели.

7. Планирование: определение условий проведения машинного эксперимента с имитационной моделью.

8. Экспериментирование: многократный прогон имитационной модели на ЭВМ для получения требуемой информации.

9. Анализ результатов: изучение результатов имитационного эксперимента для подготовки выводов и рекомендаций по решению проблемы.

10. Реализация и документирование: реализация рекомендаций, полученных на основе имитации, и составление документации по модели и ее использованию.