- •Введение
- •1. Особенности системы mathcad
- •2. Приближенное интегрирование функций
- •3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
- •Решение дифференциальных уравнений в Mathcad
- •4. Определение параметров эмпирической формулы (регрессионный анализ)
- •Метод выбранных точек
- •Метод средних
- •Метод наименьших квадратов
- •Регрессионный анализ в Mathcad
- •Линейная регрессия
- •Параболическая регрессия
- •Многомерная параболическая регрессия
- •Линейная комбинация функций
- •Приспособление произвольных функций к данным
- •5.Решение систем линейных уравнений
- •6. Возможности программирования в mathcad
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложение
- •Содержание
4. Определение параметров эмпирической формулы (регрессионный анализ)
Одной из широко распространенных задач обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией у(х). Задача регрессии заключается в получении таких параметров этой функции, чтобы функция приближала облако исходных точек с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Чаще всего используется линейная регрессия, при которой функция у(х) имеет вид и описывает отрезок прямой. К линейной регрессии можно свести многие виды нелинейной регрессии при двухпараметрических зависимостях у(х).
Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу.
В общем виде эта задача ставится следующим образом: пусть данная система значений приближённо описывается формулой вида
(4)
где известная функция и неизвестные постоянные, число которых m обычно меньше числа точек , т.е. m < n. Требуется определить эти постоянные.
Если значение ( ) точно связаны зависимостью (4), то параметры могут быть найдены из системы уравнений
(5)
Однако на практике значения ( ) содержат неизбежные ошибки, а число уравнений системы (5) значительно больше числа неизвестных. Поэтому система (5), как правило, является несовместной. Приходится отыскивать наилучшие значения , приближённо удовлетворяющие системе (5), т.е. такие, что невязки (уклонения)
являются возможно малыми по абсолютной величине.
Геометрически задача сводится к проведению кривой вида (4), наиболее тесно примыкающей к данной системе точек.
Наиболее распространёнными являются эмпирические формулы, линейно зависящие от параметров, т.е. формулы вида
В этом случае система (5) линейная и исследование её сравнительно просто. При нелинейной зависимости в (4) от параметров система (5) также нелинейная и нахождение точных или приближённых решений её представляет трудную задачу; обычно такую систему приближённо заменяют линейной.
Рассмотрим три наиболее употребительных метода определения параметров эмпирической формулы: метод выбранных точек; метод средних и метод наименьших квадратов.
Метод выбранных точек
Пусть для системы опытных данных построена эмпирическая формула
(6)
содержащая m (m<n) свободных параметров , где известная функция.
На координатной плоскости Oxy с возможной аккуратностью проводим плавную кривую Г, наиболее близко примыкающую к точкам . На кривой Г выбираем систему m (по числу параметров) точек , не обязательно совпадающих с точками . При этом желательно, чтобы выбранные точки были по возможности равномерно распределены по всей рабочей части кривой Г и возможно дальше отстояли друг от друга, и в то же время не лежали бы слишком близко к мало надёжным концевым точкам и . Для удобства обычно берут абсциссы этих точек совпадающими с крупными делениями оси Ox координатной сетки. После этого со всей тщательностью замеряют координаты . Тогда параметры , в общем случае, могут быть определены из системы m уравнений
Для случая квадратичной зависимости коэффициенты a, b и c определяются из системы трёх уравнений
Заметим, что метод выбранных точек содержит геометрические построения, допускающие известный произвол, и поэтому является грубым. К нему следует прибегать в тех случаях, когда точность исходных данных относительно невелика. Для увеличения точности метода рекомендуется пользоваться сеткой с мелкими делениями. Достоинство метода – простота применения и наглядность.