2. Свойства комбинаторных объектов и чисел

1. = . Это свойство вытекает из формулы числа сочетаний.

2. = + .

3.

4. – бином Нютона. В частности, (х + у)² = х² + 2ху + у²; (х + у)³ = х³ + 3х²у + 3ху² + у³ и т.д.

5. . Доказать легко с использованием бинома Ньютона на основе тождества (1 – 1)ⁿ = 0.

6. .

Контрольные вопросы и задания

1. Определить наибольший коэффициент разложения , если сумма всех его коэффициентов равна 4096.

2. Найти наибольший член разложения .

3. Найти коэффициент при в разложении

4. Определить число членов разложения .

5. Найти коэффициент при в разложении .

6. Найти коэффициент при в разложении .

7. Найти коэффициент при в разложении

.

8. Найти коэффициент при и в разложении .

9. В каком из выражений или будет наибольший коэффициент при .

10. Доказать, что: .

11. Вычислить суммы:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

    9. ;

    10. ;

    11. ;

    12. ;

    13. 

    14. .

12. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38, с ветчиной – 42, и с сыром и колбасой – 28, и с колбасой и ветчиной – 31, и с сыром и с ветчиной – 26. Все 3 вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки? Только бутерброды с ветчиной? Только два вида бутербродов?

13. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?