Координаты векторов

        Определение 18.4   Пусть  -- -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное,  -- базис. Тогда произвольный вектор из представим в виде линейной комбинации векторов базиса:

Числа называются координатами вектора в базисе . Столбец из координат вектора называется координатным столбцом вектора .         

        Предложение 18.3   Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

        Доказательство.     Предположим противное. Пусть  -- базис, в котором у вектора есть два различных набора координат:

Тогда

то есть

Так как наборы координат различны, то хотя бы один из коэффициентов справа отличен от нуля. Следовательно, векторы  -- линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Полученное противоречие означает, что предположение о наличии двух различных наборов координат неверно.     

        Предложение 18.4   Пусть в -мерном пространстве задан базис . Тогда координатный столбец суммы векторов равен сумме координатных столбцов слагаемых, координатный столбец произведения вектора на число равен координатному столбцу вектора, умноженному на это число.

        Доказательство.     Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Отсюда следует, что

Поэтому

Это равенство означает, что координатный столбец вектора имеет вид . Первая часть предложения доказана. Доказательство второй части предоставляем читателю.     

Из последнего предложения следует, что как только в -мерном пространстве зафиксирован базис, каждый вектор можно заменить его координатным столбцом, и операциям сложения и умножения на число соответствуют такие же операции над их координатными столбцами. Таким образом, каждое -мерное пространство является, с точки зрения алгебры, копией пространства в вещественном случае, а в комплексном -- копией .

Вперед: Изменение координат вектора при изменении базиса Наверх: Линейные пространства Назад: Базис и размерность пространства  

Вперед: Евклидово пространство Наверх: Линейные пространства Назад: Координаты векторов  

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

        Замечание 18.1   Матрица перехода всегда невырождена, то есть .         

        Предложение 18.5   Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

(18.1)

где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.

        Доказательство.     Так как  -- координатный столбец вектора в новом базисе, то

Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула  (18.1) доказана.     

        Пример 18.4   Пусть , то есть  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

Возьмем вектор . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

Пусть  -- координатный столбец вектора в новом базисе. Тогда

(18.2)

откуда

Найдем матрицу по формуле (14.14). Находим определитель

Находим алгебраические дополнения

Следовательно,

Находим координаты вектора

Таким образом, новые координаты вектора : , , , .

Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты , , .         

Вперед: Евклидово пространство Наверх: Линейные пространства Назад: Координаты векторов  

Вперед: Аффинное -мерное пространство Наверх: Многомерные пространства Назад: Изменение координат вектора при изменении базиса  

Евклидово пространство

Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов

   и

были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в -мерном пространстве.

Пусть  -- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно , задается формулой

(18.3)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3).

Если ,  -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

        Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.         

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

то есть

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

        Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.         

        Пример 18.5   Пусть , их координатные столбцы , . Проверьте, являются ли векторы ортогональными.

Решение. Находим скалярное произведение

Следовательно, векторы ортогональны.         

Так как базисные векторы имеют координатные столбцы , , ..., , то несложно проверить, что в ортонормированном базисе , а при , то есть векторы базиса попарно ортогональны.

Если  -- комплексное линейное -мерное пространство, то в нем тоже можно ввести скалярное произведение, задав его формулой

где черта над означает комплексное сопряжение.

        Определение 18.7   Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.         

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

Вперед: Аффинное -мерное пространство Наверх: Многомерные пространства Назад: Изменение координат вектора при изменении базиса  

Вперед: Матрица линейного преобразования Наверх: Линейные преобразования Назад: Линейные преобразования  

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство и преобразование этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору из соответствует вектор из того же пространства. Вектор называется образом вектора и обозначается , а вектор называется прообразом вектора .

        Определение 19.1   Преобразование линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и и любого числа выполнены равенства

(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.         

        Замечание 19.1   В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый "каллиграфический" шрифт.         

Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

        Пример 19.1   Пусть  -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).

Рис.19.1.Преобразование растяжения

Проверим выполнение равенств (19.1)

Равенства (19.1) выполнены, следовательно, преобразование является линейным.         

        Пример 19.2   Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- поворот вектора по часовой стрелке на угол (рис. 19.2).

Рис.19.2.Преобразование поворота

Покажем, что это -- линейное преобразование.

Пусть и  -- два вектора. Тогда  -- это диагональ параллелограмма со стронами , (рис. 19.3).

Рис.19.3.Образ суммы векторов

Если параллелограмм повернуть как единое целое на угол , то его стороны станут векторами и , диагональ будет вектором . С другой стороны, диагональ тоже повернулась на угол и поэтому является вектором . Следовательно, , первое из условий (19.1) выполнено.

Пусть -- число. Из рисунка 19.4 очевидно, что .

Рис.19.4.Образ вектора, умноженного на число

Следовательно, преобразование  -- линейное.         

Упражнение19.1.1. Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Другими словами, является зеркальным отражением вектора в прямой .

Рис.19.5.Преобразование отражения

Докажите, что является линейным преобразованием.

Упражнение19.1.2. Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6).

Рис.19.6.Преобразование проектирования

Докажите, что является линейным преобразованием.

        Пример 19.3   Пусть  -- пространство всех многочленов,  -- преобразование, которое переводит вектор из , то есть многочлен, в производную этого многочлена, которая естественно является многочленом, то есть вектором из . Пусть , то есть . Тогда

Например, если , то . Покажем, что преобразование является линейным.

Пусть ,  -- число. Тогда в силу свойства линейности производной получим

Аналогично,

Следовательно,  -- линейное преобразование.         

        Пример 19.4   Пусть  -- -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис . Тогда у любого вектора есть его координатный столбец . Пусть  -- квадратная матрица порядка . Определим преобразование следующим образом: является вектором, координатный столбец которого равен (справа стоит произведение матрицы на столбец ). Покажем, что преобразование  -- линейное.

Пусть и имеют координатные столбцы и соответственно, а их образы и  -- координатные столбцы , и . Тогда

Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов . Следовательно, .

Пусть  -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора равен , координатный столбец образа вектора

то есть равен числу , умноженному на координатный столбец образа вектора . Поэтому . Тем самым мы доказали, что преобразование является линейным.         

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования образ нуля равен нулю, . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

Вперед: Матрица линейного преобразования Наверх: Линейные преобразования Назад: Линейные преобразования  

Вперед: Собственные числа и собственные векторы Наверх: Линейные преобразования Назад: Матрица линейного преобразования  

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть  -- -мерное линейное пространство, и  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть  -- линейное преобразование пространства , и  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

        Доказательство.     Пусть  -- произвольный вектор пространства ,  -- его образ, то есть . Пусть и  -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а ,  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По  предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .         

        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Вперед: Собственные числа и собственные векторы Наверх: Линейные преобразования Назад: Матрица линейного преобразования  

Вперед: Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц Наверх: Линейные преобразования Назад: Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса  

Собственные числа и собственные векторы

        Определение 19.3   Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования .         

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если  -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В  примере 19.2 при не кратном преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

        Пример 19.7   Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор , симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор , он соответствует собственному числу , и вектор , который соответствует собственному числу . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу .         

        Предложение 19.2   Пусть  -- собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу и пусть  -- ненулевое число. Тогда  -- тоже собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу .

        Доказательство.    

    

        Пример 19.8   Пусть  -- двумерное векторное пространство,  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат,  -- преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.         

        Пример 19.9   Пусть  -- линейное преобразование  примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.         

Если в пространстве задан базис, то линейному преобразованию соответствует матрица . Пусть  -- собственный вектор преобразования , соответствующий собственному числу ,  -- координатный столбец вектора . Тогда равенство означает, что .

        Определение 19.4   Ненулевая матрица-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .         

        Замечание 19.2   Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.         

        Предложение 19.3   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

        Доказательство.     Пусть и  -- две подобные матрицы порядка . Рассмотрим -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис и рассмотрим линейное преобразование , которое в этом базисе имеет матрицу . По  следствию 19.1 будет матрицей того же преобразования в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования будет совпадать со спектрами матриц и .     

Вперед: Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц Наверх: Линейные преобразования Назад: Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса