4.6. Синтез корректирующих звеньев

4.6.1. Методика синтеза системы по ЛЧХ

Синтез САУ состоит в следующем. Имеется исходная система с передаточной функцией . В нее необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией , в результате чего система обеспечивает требуемые показатели качества; соответствующая ее ПФ называется желаемой - . При введении последовательного корректирующего звена в исходную систему имеем

,

откуда получаем:

.

Переходим к ЛАЧХ:

.

По ЛАЧХ корректирующего звена определяется его передаточная функция.

Синтез предусматривает следующие процедуры и последовательность их выполнения:

1) определение передаточной функции исходной системы и построение соответствующей ЛАЧХ;

2) построение ЛАЧХ, при которой системы обеспечивает требуемые показатели качества (желаемая ЛАЧХ);

3) определение ЛАЧХ корректирующего звена, как правило последо-вательного, или эквивалентного ему при любом способе введения (параллельные, в цепях обратной связи) и составление передаточной функции;

4) выбор схемы корректирующего звена и определение номинальных значений элементов.

Рассмотрим основные положения этих процедур.

1. Построение ЛАЧХ исходной системы (контура). Выполняется по ее ПФ. При этом числитель и знаменатель ПФ системы должны бать представлены в виде простых сомножителей. Для разложения полиномов на простые сомножители может бать использованы известные процедура и основанные на них программные продукты. В приложении 1 дается порядок работы в одной из таких программ.

2. Построение желаемой ЛАЧХ. При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три характерные области:

- низкочастотная;

- среднечастотная;

- высокочастотная.

Для каждой из областей установлены свои правила построения.

Низкочастотная область определяет точность системы. Порядок ее построения следующий.

1. Определяется добротность системы (если не задано)

,

где: - порядок производной входного воздействия;

- составляющая ошибки, соответствующая входному воздействию.

Для статических и астатических систем 1-го порядка соответственно добротность по положению и добротность по скорости определяются:

; .

2. На частоте откладывается точка ;

3. Через точку проводится прямая под наклоном , где i - степень астатизма системы.

Среднечастотная область определяет качество переходного процесса. Искомым параметром является частота среза и протяженность этого участка (сопрягающие частоты). Порядок ее построения:

1. Частота среза определяется по характеристикам, приведенным на рис.4.3 [1,2]. Здесь аргумент - вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замкнутой системы , обеспечивающей требуемые показатели качества; функции - перерегулирование и время переходного процесса . По заданной величине перерегулирования определяется требуемое значение ВЧХ, а затем для него определяется требуемое значение в виде

,

где r имеет конкретное числовое значение. Затем определяется частота среза

.

Если величина перерегулирования не задана, то принимают .

2. На частоте среза проводится прямая под наклоном -20дБ/дек до значений = 11дБ. При этом получают сопрягающие частоты и .

Сопряжение среднечастотной области с низкочастотной областью выполняют в зависимости от расположения низкочастотной асимптоты ЛВЧХ на сопрягающей частоте . Если она выше значения 11ДБ, то на частоте проводят прямую под наклоном -40дБ/дек до пересечения с низкочастотной частью ЛАЧХ; если ниже, то под наклоном 0дБ.

Высокочастотная область определяет помехозащищенность системы. Среднечастотный участок ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек проводится до граничной частоты, которая определяется из условия

.

Далее наклоны ЖЛАХ берутся равными исходной системы.

3. Определение ЛАЧХ корректирующего звена . Как следует из приведенных выше соотношений для получения ЛАЧХ корректирующего звена необходимо из желаемой ЛАЧХ вычесть ЛАЧХ исходной системы .

По полученной ЛАЧХ корректирующего звена записывается передаточная функция корректирующего звена в дробно-рациональной форме. При этом руководствуются тем, что участки под наклоном -20дБ/дек дают простой сомножитель вида в знаменателе, а участки под наклоном +20дБ/дек дают простой сомножитель вида ; участки под наклоном -40дБ/дек дают сомножитель второго порядка вида в знаменателе, а участки под наклоном 40дБ/дек дают сомножитель второго порядка вида в числителе.

Частота среза определяется как:

,

,

где: Т₃=0,009

,

где: ,

,

где: - передаточная функция желаемой системы.

,

где: - передаточная функция исходной системы.

,

где: - передаточная функция замкнутой желаемой системы по управляющему воздействию.

,

где: - передаточная функция замкнутой желаемой системы по ошибке от управляющего воздействия.

,

где: - передаточная функция замкнутой исходной системы по управляющему воздействию.

,

где: - передаточная функция замкнутой исходной системы по ошибке от управляющего воздействия.

,

где: - передаточная функция корректирующего звена.

Если коэффициент передачи корректирующего звена меньше единицы, то поднимается коэффициент передачи прямого тракта (или вводится дополнительный усилитель) на величину:

.

К_кз=80/2,4∙0,67=49,7;

К_кз>1.