Модуль 4.

30. Линейные отображения и операторы векторных пространств.

31. Ядро и образ линейного оператора.

32. Матрица линейного оператора.

33. Алгебра линейных операторов.

34. Обратимые линейные операторы.

35. Собственные векторы и значения линейного оператора.

36. Характеристический многочлен линейного оператора.

37. Спектр линейного оператора.

38. Условия подобия матрицы диагональной матрице.

План практических занятий Модуль 1.

ЗАНЯТИЯ 1, 2. Обратная матрица. Ранг матрицы.

1. Найти обратные матрицы по формуле или с помощью элементарных преобразований. а) ; б) ; в) ; г) . Ответ: а) ; б) не существует; в) ; г) .

2. Даны матрицы , . Решить матричные уравнения: а) AX=B; б) XA=B. Ответ: а) ; б) .

3. Вычислить ранги матриц: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Ответ: а) 1; б) 2; в) 3; г) 3; д) 2.

ЗАНЯТИЯ 3, 4. Системы линейных уравнений.

1. Решить системы линейных уравнений методом Крамера или матричным методом. а) б) в) Ответ: а) ; б) ; в) .

2. Решить систем линейных уравнений методом Гаусса: а) б) в) г) д) е) Ответ: а) ; б) ; в) несовместна; г) ; д) ; е) .

3. Исследовать систему и решить ее в зависимости от значений параметра:

. Ответ: при система имеет единственное решение ; при общее решение имеет вид ; при система несовместна.

Модуль 2.

ЗАНЯТИЕ 5, 6. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

1. Установить линейную зависимость или независимость следующих систем векторов в соответствующих векторных пространствах над полем R:

   1. . Ответ: система линейно зависима и .

   2. . Ответ: система линейно зависима и .

   3. . Ответ: система линейно независима.

2. В векторном пространстве представить вектор a=(1,4,–7) как линейную комбинацию векторов . Ответ: .

3. Доказать, что вектор a=2–7i из векторного пространства C над R линейно выражается через векторы . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 7. Координаты вектора в базисе.

1. Данную линейно независимую систему дополнить до базиса соответствующего векторного пространства:

   1. . Ответ: .

   2. . Ответ: .

2. Доказать, что система составляет базис пространства . Найти в этом базисе координаты вектора a=(2, –3, 5). Ответ: .

3. Найти координаты вектора из векторного пространства в базисах:

   1. . Ответ: .

   2. . Ответ: f(2,–3,1,0).

ЗАНЯТИЕ 8. Матрица перехода.

1. В векторном пространстве C над R найти матрицу перехода от базиса [1, i] к базису [2–i, 4i] и найти координаты вектора a=8+9i в новом базисе. Ответ: .

2. В векторном пространстве найти матрицу перехода от базиса к базису и координаты вектора в новом базисе. Ответ: a(2,0,3,–1).

3. Найти координаты вектора x в базисе , если известно его разложение по базису :

   1. и Ответ: .

   2. и Ответ: .

4. В векторном пространстве найти матрицу T перехода от базиса к базису и координаты вектора в базисе . Ответ: , .

5. В векторном пространстве найти матрицу T перехода от базиса к базису и координаты вектора в базисе . Ответ: , .

6. Пусть есть матрица перехода от базиса к базису . Найти координаты вектора во втором базисе и координаты вектора в первом. Ответ: , .