3.2 Формулировка уравнений движения и описание собственных форм и частот конструкции по мкэ

В отличие от статических расчетов, в которых внешние воздействия и все остальные компоненты напряженно-деформированного состояния не зависят от времени, в динамическом расчете внешние воздействия являются функциями времени. Наряду с основными параметрами, необходимыми для описания статического поведения системы, в динамике время является усложняющим расчет параметром.

В задачах движения деформируемого твердого тела широкое применение находят уравнения Лагранжа II рода для систем с неконсервативными силами, имеющие вид:

, (24)

где - кинетическая энергия системы; - j-ая обобщенная координата; - j-ая обобщенная сила.

Обобщенная сила может быть представлена в виде:

, (25)

где - активная обобщенная сила; - диссипативная обобщенная сила.

Активная сила может быть выражена в форме:

, (26)

где - внешняя сила; - внутренняя сила.

Внешняя сила может быть представлены в виде суммы консервативных и неконсервативных внешних сил:

, (27)

где - консервативная внешняя сила; - неконсервативная внешняя сила.

Тогда уравнения Лагранжа (24) принимают вид:

, (28)

где - кинетическая энергия системы; - внутренняя сила; - консервативная внешняя сила; - неконсервативная внешняя сила; - диссипативная обобщенная сила.

На основании уравнения Лагранжа (24) выводятся уравнения движения КЭ в матричной форме. В качестве обобщенных координат рассматривают перемещения узлов КЭ.

Кинетическая энергия конечного элемента может быть записана так:

, (29)

где - матрица массы; - вектор узловых скоростей.

Вектор узловых диссипативных сил выражают с помощью матрицы демпфирования :

. (30)

С учетом (28-30), получают уравнение:

. (31)

При решении нелинейных динамических задач часто приходится проводить расчеты в приращениях. В этом случае задача описывается следующим образом. Предполагается, что некоторое тело в момент времени находится в состоянии динамического равновесия I. Этому состоянию соответствуют обобщенные перемещения . Вследствие воздействий тело переходит в состоянии равновесия II. Обобщенные координаты получают при этом приращении . Требуется получить уравнения, описывающие движения из состояния I в состояние II. Тогда для состояния I имеем:

. (32)

Для состояния II:

. (33)

Вычитая (32) из (33) получают:

(34)

Введем обозначения:

(35)

С учетом (35) уравнение (34) примет вид:

(36)

Предполагается, что внутренние силы обладают потенциалом на дополнительных перемещениях:

, (37)

где - потенциальная энергия деформации; - приращение j-й обобщенной координаты.

Тогда уравнение принимает вид:

(38)

Предположение о наличии у внутренних сил потенциала на дополнительных перемещениях равносильно предположению о том, что зависимость между приращениями напряжений и деформаций на шаге нагружения выражается некоторыми соотношениями в форме закона Гука:

, (39)

где и - векторы, составленные из компонентов напряжений и деформаций соответственно, - матрица характеристик материала. При переходе от одного шага нагружения к другому коэффициенты матрицы изменяются. Для их вычисления необходимо знать деформации в начале и в конце шага, причем последние определяются в итерационном процессе.

Следует перейти к вычислению потенциальной энергии . Пусть перемещения точек КЭ в состоянии I равны , а в состоянии II определяются:

. (40)

Потенциальную энергию можно определить используя тензор деформаций Грина и тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа.

Тензор деформаций Грина определяется соотношениями:

. (41)

Таким образом, деформации определяются:

(42)

Тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа определяется соотношением:

, (43)

где - начальные напряжения (напряжения Коши); - приращения напряжений (напряжения Пиолы-Кирхгофа). При малых деформациях повернутый тензор напряжений Коши совпадает с тензором приращений напряжений Пиолы-Кирхгофа, поэтому возможно их суммирование.

Приращения напряжений могут быть представлены в виде:

, (44)

где и выражаются через и .

На основании приведенных выше соотношений потенциальная энергия деформации может быть записана:

(45)

где - объем тела в состоянии II.

При малых деформациях считается, что объем тела постоянен.

С учетом (38), (45) получают уравнение:

(46)

Следует рассмотреть выражение .

Перемещения точек конечных элементов записывают в виде:

, (47)

где - функция формы (базисная функция).

Вектор обычно представляют в виде:

, (48)

где и - некоторые матрицы, зависящие от координат точек тела.

Тогда справедливо выражение:

(49)

Выражение представляет собой вектор узловых сил, обусловленных начальными напряжениями:

. (50)

Уравнение (46) с учетом приводится к виду:

(51)

Запишем выражения для компонентов потенциальной энергии деформации в виде:

(52)

Обозначим:

(53)

Пусть - прямые, - дифференциальные, - полные матрицы жесткости i-го порядка.

Уравнение движения при принятых обозначениях примет вид:

(54)

Уравнение (54) позволяет исследовать движение геометрически и физически нелинейных конструкций в приращениях. Как частные случаи могут быть получены уравнения для различных задач статики и динамики конструкций, что позволяет обеспечить комплексное решение задач прочности, устойчивости и динамики конструкций. [86]

Уравнения колебаний упругой подсистемы под действием упругих и демпфирующих усилий от соединительных элементов упрощенно представляют на основе уравнений типа (55):

. (55)

Матрицу демпфирования можно представить в виде:

, (56)

где , - некоторые коэффициенты пропорциональности.

Решение уравнения колебаний в силу свойственной им жесткости и значительной размерности требует больших вычислительных затрат. Поэтому для снижения этих эффектов его представляют в нормальных координатах с учетом ограниченного числа форм.

Собственные частоты и формы колебания упругого тела определяются из уравнения свободных колебаний без вязкого сопротивления, получаемое из (55):

. (57)

Уравнение может иметь вещественное периодическое решение:

. (58)

Квадратуры собственных частот определяются из характеристического уравнения:

. (59)

Собственные векторы, соответствующие заданной собственной частоте находят из однородной системы уравнений:

, (60)

где .

Каждой собственной частоте соответствует вектор-столбец собственных форм колебаний , а также вектор перемещения . По столбцам из собственных форм колебаний формируют квадратную модальную матрицу:

. (61)

Модальная матрица нормируется по кинетической энергии:

, (62)

где - единичная матрица.

Следует ввести новые координаты в форме:

. (63)

В этом случае система уравнений (55) разделяется на уравнений вида:

, (64)

где - коэффициент демпфирования по j-ой форме колебаний; .

Это уравнение справедливо в предположении, что внутреннее демпфирование упругой системы не вызывает взаимодействия собственных форм ее колебаний без демпфирования, матрица демпфирования выражается через , а сосредоточенное внешнее демпфирование при колебаниях упругой системы учитывается характеристиками соединительных элементов.

Начальные условия могут быть выражены:

, . (65)

Упругие и демпфирующие усилия соединительных элементов, стоящие в правой части уравнения при переходе к нормальным координатам преобразуются следующим образом:

. (66)

Векторы физических перемещений и скоростей, входящие в качестве аргумента функций усилий, определяются через обобщенные координаты и их производные с помощью выражения (63).

Таким образом, представление уравнений дискретной модели упругой подсистемы в нормальных координатах дает возможность разделения уравнений (555) относительно старших производных, т.е. представления системы дифференциальных уравнений в форме Коши. [6, 88]